Convergenza serie
Dire per quali valori di $alpha>0$ converge la seguente serie:
$ sum_(n=1)^(oo) n/((n+1)^alpha - n^alpha) $
Si vede subito che per $alpha = 1$ la serie non converge
quindi ho pensato di usare il criterio di Leibniz per vedere che converge se $alpha > 1$
Il procedimento è giusto o c'è un modo migliore?
$ sum_(n=1)^(oo) n/((n+1)^alpha - n^alpha) $
Si vede subito che per $alpha = 1$ la serie non converge
quindi ho pensato di usare il criterio di Leibniz per vedere che converge se $alpha > 1$
Il procedimento è giusto o c'è un modo migliore?
Risposte
Perchè hai usato Leibnitz? il termine generale della serie non è a segni alterni. E' una serie a termini positivi, quindi regolare. Cambia approccio.
Suggerimento: Utilizza il criterio del confronto asintotico, ricordando il limite notevole:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex].
Con un po' di manipolazione algebrica dovresti arrivare alla soluzione. Prova, se hai problemi ne riparliamo
Suggerimento: Utilizza il criterio del confronto asintotico, ricordando il limite notevole:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex].
Con un po' di manipolazione algebrica dovresti arrivare alla soluzione. Prova, se hai problemi ne riparliamo
se mi puoi dare una dritta perchè non so come procedere
Il primo passo da fare è quello di scrivere la successione [tex]a_n= \frac{n}{(n+1)^a-n^a}[/tex] in questo modo:
[tex]$a_n= \frac{n}{n^a\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^a-1\right)}= \frac{1}{n^{a-1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right)}[/tex]
Ora concentrati per il momento su:
[tex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1[/tex]
che mi sai dire di questa quantità quando [tex]n\to\infty[/tex]? Prima di rispondere che non sai proseguire però, ti invito a rileggere la discussione dall'inizio. Hai (quasi) tutti i mezzi per arrivare alla soluzione.
[tex]$a_n= \frac{n}{n^a\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^a-1\right)}= \frac{1}{n^{a-1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right)}[/tex]
Ora concentrati per il momento su:
[tex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1[/tex]
che mi sai dire di questa quantità quando [tex]n\to\infty[/tex]? Prima di rispondere che non sai proseguire però, ti invito a rileggere la discussione dall'inizio. Hai (quasi) tutti i mezzi per arrivare alla soluzione.
"Mathematico":
Il primo passo da fare è quello di scrivere la successione [tex]a_n= \frac{n}{(n+1)^a-n^a}[/tex] in questo modo:
[tex]$a_n= \frac{n}{n^a\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^a-1\right)}= \frac{1}{n^{a-1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right)}[/tex]
Ora concentrati per il momento su:
[tex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1[/tex]
che mi sai dire di questa quantità quando [tex]n\to\infty[/tex]? Prima di rispondere che non sai proseguire però, ti invito a rileggere la discussione dall'inizio. Hai (quasi) tutti i mezzi per arrivare alla soluzione.
[tex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1[/tex] tende a 0 per [tex]n\to\infty[/tex]
quindi è possibile usare il limite notevole: $ n/n^alpha * n/((1+1/n)^alpha -1) $ ~ $ n/n^alpha * 1/alpha$
che è minore della serie armonica generalizzata e converge se e solo se $alpha > 1$
è giusto il procedimento?
Ci sei quasi, ma credo tu abbia commesso una dimenticanza. Io preferisco questa scrittura:
[tex]$\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\sim \frac{a}{n}[/tex] per [tex]n\to\infty[/tex] (per il limite notevole). Ne consegue che
[tex]$\frac{n}{n^a \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right)}\sim \frac{n}{n^a \frac{a}{n}}= \frac{1}{a n^{a-2}}[/tex].
Adesso grazie alla serie armonica generalizzata puoi concludere.
[tex]$\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\sim \frac{a}{n}[/tex] per [tex]n\to\infty[/tex] (per il limite notevole). Ne consegue che
[tex]$\frac{n}{n^a \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right)}\sim \frac{n}{n^a \frac{a}{n}}= \frac{1}{a n^{a-2}}[/tex].
Adesso grazie alla serie armonica generalizzata puoi concludere.
quindi alla fine converge se e solo se $alpha>3$
Grazie mille per la spiegazione
Grazie mille per la spiegazione
Se non abbiamo commesso errori di conto, sì!
Prego, è stato un piacere.
Prego, è stato un piacere.
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