Convergenza serie

[Stevie1]

Sto svolgendo un esercizio in cui devo dare la definizione di serie assolutamente convergente e studiare il carattere della serie $ sum (-1)^(n) *e^{-n} $
Per la definizione dico che data una serie si dice che essa è assolutamente convergente se è convergente la serie dei valori assoluti.
Inoltre la convergenza assoluta implica la convergenza semplice.

Mentre per la serie uso il criterio di leibneiz. Posso usarlo perche $ e^{-n} $ è sempre maggiore di 0 giusto? Altrimenti potevo farne il valore assoluto?

Poi calcolo il $ lim_(n -> +oo ) e^{-n} $ che deve essere 0. Infatti trovo proprio che è 0.

E infine l'ultimo requisito è che la successione sia decrescente. Questo risulta essere vero se: $ a(n) >= a(n+1) $ . Quello che ho messo tra parentesi dovrebbe essere come pedice della a.

Si puo scrivere anche come $ [a(n+1)]/[a(n)] <= 1 $

Solo che non riesco a svolgere la disequazione.

Siccome non sono molto pratico con le serie potreste dirmi se il ragionamento è giusto e come svolgere la disequazione?

[The_Mad_Hatter]

Intanto puoi notare che la funzione $f(x) = e^(-x)$ è strettamente decrescente, pertanto per la successione $a(n) = f(n) = e^(-n)$ deve essere altrettanto.

Ad ogni modo, applicando la definizione di monotonia:

$e^(-(n+1)) <= e^(-n)$
$e^(-n-1)-e^(-n) <= 0$
$e^(-n) (e^(-1) - 1) <= 0$
$e^(-n)$ è sempre positivo, $(1/e - 1)$ è ovviamente negativo, pertanto il prodotto è sempre negativo, ovvero la successione è sempre strettamente decrescente, C.V.D.

Pertanto la serie $sum (-1)^n e^(-n)$ è convergente.


EDIT: In questo caso hai che la successione è assolutamente convergente, in quanto anche $sum e^(-n)$ converge. Puoi verificarlo facilmente con il criterio del rapporto, ma ancor più facilmente notando che $sum e^(-n) = sum (1/e)^n$, ovvero è una serie geometrica di ragione $|q| < 1$, pertanto convergente a $1/(1-q)$ (in questo caso la serie converge a $1-1/(e-1)$).