Convergenza serie

[Mito125]

Volevo sapere se la seguente serie converge o meno:

$sum_(n = 1 )^(oo ) (n!)/n^(2 alpha)$

Io ho utilizzato il criterio del rapporto:

$sum_(n = 1 )^(oo ) (n!)/n^(2 alpha) \leq sum_(n = 1 )^(oo )((n+1)n!)/(n!) * (n^(2 alpha))/(n+1^(2 alpha)) \leq sum_(n = 1 )^(oo )(n+1)*(o(n+1^(2 alpha)))/((n+1^(2 alpha))) \leqsum_(n = 1 )^(oo ) 1/(n+1)^(2 alpha -1)$

$2 alpha -1 > 1$
$alpha>1$

Perciò converge solo se $alpha>1$... Però non dovrebbe convergere... Dov'è l'errore???

[The_Mad_Hatter]

$a_(n+1) / a_n = ( (n+1)n!n^(2\alpha) )/( (n+1)^(2\alpha)n! ) = n^(2\alpha)/(n+1)^(2\alpha-1) ~= n^(2\alpha)/n^(2\alpha-1) = n$

Ovviamente $lim_n n = +oo$ pertanto la serie diverge $AA \alpha in RR$

[Mito125]

Ma $n^(2 alpha)$ non è infinitesimo di $(n+1)^(2 alpha)$? Non è trascurabile???

[The_Mad_Hatter]

"Mito125":Ma $n^(2 alpha)$ non è infinitesimo di $(n+1)^(2 alpha)$? Non è trascurabile???

Assolutamente no!

Sono asintoticamente equivalenti!

Per chiarirti le idee ti faccio una domanda: se poni $\alpha=1/2$ ottieni $n/(n+1)$, ponendo invece $\alpha=1$ ottieni $n^2/(n+1)^2 = n^2/(n^2+2n+1)$. Se calcoli questi limiti, trovi facilmente che sono uguali a 1 (ovvero le successioni sono asintotiche).

[Mito125]

Il mio errore è proprio quello allora... Ho sbagliato nel considerare l'o piccolo... Grazie...