Convergenza serie

[boanini]

come si studia la convergenza della serie,

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{n}[/tex]

usando il thm del confronto?, xke io l ho svolto con il confronto asintotico, ma oggi il proff, lo ha fatto con il thm del confronto ,ma non ho ben capito

[klarence1]

"boanini":come si studia la convergenza della serie,

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{n}[/tex]

usando il thm del confronto?, xke io l ho svolto con il confronto asintotico, ma oggi il proff, lo ha fatto con il thm del confronto ,ma non ho ben capito

Si può fare in entrambi i modi... spesso per risolvere il problema della convergenza non c'è solo un modo.

[boanini]

si ma nn ho capito come si fa con il thm del confronto

[klarence1]

"boanini":si ma nn ho capito come si fa con il thm del confronto

Moltiplica il termine generale della serie per $1+sqrt(1+(1/(9*n^2)))$ sia al numeratore che al denominatore e poi confronti ciò che ti è uscito con la successione $-1/(9*n^3)$.

[boanini]

"klarence":$-1/(9*x^3)$.

infatti dalla spiegazione del prof è proprio questo che non capisco da dove è venuto fuori

[klarence1]

"boanini":[quote="klarence"]$-1/(9*x^3)$.

infatti dalla spiegazione del prof è proprio questo che non capisco da dove è venuto fuori[/quote]

Dopo che hai fatto la manipolazione che ti ho detto sul termine generale della serie ti esce che il termine generale è uguale a $-1/((9*n^3)(1+sqrt(1+(1/(9*n^2)))))$. Hai quindi che il termine generale della tua successione è in valore assoluto minore o uguale a $1/(9*n^3)$ (la cui serie associata converge). PErtanto la serie di partenza converge assolutamente e quindi converge semplicemente.
PRaticamente noti che il denominatore della tua serie è del tipo $9*n^3+K$ dove K è qualcosa di positivo. quindi hai che $9*n^3+K>9*n^3$ e passando ai reciproci hai che $ 1/9*n^3+K<1/9*n^3$. Devi in pratica scegliere tu una serie opportuna con cui confrontare.... in virtù dell'osservazione che ti ho fatto ora scegli la serie il cui termine generale è $1/9*n^3$