Convergenza serie

[franko2]

Ciao ragazzi potreste aiutarmi con la convergenza di questa serie?
come si arriva al risultato... il primo passaggio lo comprendo sono le 2 serie successive che non so calcolare!


[tex]\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)(n+2-k)=\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2 + 2*\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)=[/tex]

[tex]=\frac{(n-1)n(n+1)}{3} + \frac{2n(n-1)}{2}[/tex]

in sostanza il problema è che non so come si valuta questa serie o meglio una serie di questo tipo

[tex]\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)[/tex]


Grazie

[gugo82]

Innanzitutto non queste non sono proprio "serie", ma semplici somme.

Per quanto riguarda il calcolo, nota che la sostituzione di variabile [tex]$m=n-k$[/tex] in [tex]$\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2$[/tex] ed in [tex]$\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)$[/tex] porta a:

[tex]$\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2 =\sum_{m=1}^{n-1} m^2$[/tex]

[tex]$\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) =\sum_{m=1}^{n-1} m$[/tex]

sicché la prima sommatoria è la somma dei quadrati dei primi [tex]$n-1$[/tex] numeri naturali, mentre la seconda è la somma dei primi [tex]$n-1$[/tex] numeri naturali.
Per esprimere in forma chiusa tali somme ci sono note formule, che si possono ricavare per induzione.

[EnderWiggins]

Ciao a te; ascolta, il primo addendo della somma sinceramente non mi torna, quanto al secondo il problema si risolve così:
$\sum_{k=1}^(n-1) (n-k)=(\sum_{k=1}^(n-1)n)-(\sum_{k=1}^(n-1)k)=(n-1)n-((n-1)n)/2=((n-1)n)/2$.
Il primo ha qualcosa che non va: poniamo ad esempio $n=3$, $\sum_{k=1}^(2)(3-k)^2=(3-1)^2+(3-2)^2=5$ mentre $((n-1)n(n+1))/3$ per $n=3$ vale $((3-1)3(3+1))/3=8$, a me viene $((n-1)n(2n-1))/6$ il secondo addendo.
Comunque una serie vera e propria va fino a infinito, queste sono solo sommatorie
Acc, sono arrivato tardi..