Convergenza serie
E' esatto verificare la convergenza di questa serie con il modo da me usato?:
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)}$ =
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)} < \sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$
siccome $\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$ converge allora anche
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)}$ converge
E' esatto?
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)}$ =
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)} < \sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$
siccome $\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$ converge allora anche
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)}$ converge
E' esatto?
Risposte
Tieni conto che sono un niubbo e al limite attendi utenti più preparati di me, provo a dire la mia:
Facciamo una prova per $n=1, n=2, n=3$
$n=1: 1/(1^2+ln(1)) = 1/1^2 $
$n=2: 1/(2^2+ln(2)) < 1/2^2 $
$n=3: 1/(3^2+ln(3)) < 1/3^2 $
Ovviamente al deonominatore ti troverai sempre un valore più alto rispetto al solo $n^2$, quindi otterrai sempre un numero più piccolo a partire da $n=2$ in poi.
Poichè il Criterio del confronto di Gauss indica la convergenza di una seria quando, da un certo indice in poi, i termini della prima serie si mantengono inferiori ai rispettivi termini della seconda (che sarebbe la serie maggiorante convergente, nel tuo caso una serie geometrica), io credo sia giusto il ragionamento e che sia effettivamente convergente
Facciamo una prova per $n=1, n=2, n=3$
$n=1: 1/(1^2+ln(1)) = 1/1^2 $
$n=2: 1/(2^2+ln(2)) < 1/2^2 $
$n=3: 1/(3^2+ln(3)) < 1/3^2 $
Ovviamente al deonominatore ti troverai sempre un valore più alto rispetto al solo $n^2$, quindi otterrai sempre un numero più piccolo a partire da $n=2$ in poi.
Poichè il Criterio del confronto di Gauss indica la convergenza di una seria quando, da un certo indice in poi, i termini della prima serie si mantengono inferiori ai rispettivi termini della seconda (che sarebbe la serie maggiorante convergente, nel tuo caso una serie geometrica), io credo sia giusto il ragionamento e che sia effettivamente convergente
grazie 
Ovviamente apprezzo faximusy! Vedere due o tre termini per farsi un'idea: ottimo!
Una sola obiezione a qwerty90. Penso sia chiarita dall'intervento di faximusy, ma non si sa mai.
Tu usi:
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)} < \sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$
Ma il criterio del confronto richiede che tu abbia una maggiorazione per i termini della serie.
Quindi ti serve provare che, per ogni $n \in NN$, hai:
$ frac {1}{n^2 + log(n)} \le frac {1}{n^2}$
Il che non mi pare difficile (nota che vale il "<" tranne che per $n=1$), vedi faximusy.
Una sola obiezione a qwerty90. Penso sia chiarita dall'intervento di faximusy, ma non si sa mai.
Tu usi:
$\sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2 + log(n)} < \sum_{n=1}^\infty frac {1}{n^2}$
Ma il criterio del confronto richiede che tu abbia una maggiorazione per i termini della serie.
Quindi ti serve provare che, per ogni $n \in NN$, hai:
$ frac {1}{n^2 + log(n)} \le frac {1}{n^2}$
Il che non mi pare difficile (nota che vale il "<" tranne che per $n=1$), vedi faximusy.
ok grazie ad entrambi....
Adesso avrei un altro problema...se non vi dispiace potete chiarirmelo?
$\sum_{n=1}^\infty frac {n^n}{(n!)^2}$
con che metodo lo posso risolvere?? Ci sto provando in tutti i modi ma non trovo la soluzione. Vi ringrazio per il gentile aiuto
Adesso avrei un altro problema...se non vi dispiace potete chiarirmelo?
$\sum_{n=1}^\infty frac {n^n}{(n!)^2}$
con che metodo lo posso risolvere?? Ci sto provando in tutti i modi ma non trovo la soluzione. Vi ringrazio per il gentile aiuto
criterio del rapporto
Con il criterio del rapporto viene fuori :
$\lim_{n \to \infty} frac{(n+1)^n}{(n+1)*n^n} $
e quindi?
$\lim_{n \to \infty} frac{(n+1)^n}{(n+1)*n^n} $
e quindi?
"qwerty90":
Con il criterio del rapporto viene fuori :
$\lim_{n \to \infty} frac{(n+1)^n}{(n+1)*n^n} $
e quindi?
al numeratoe hai $(n+1)^(n+1)*n!$
al denominatore $(n+1)! * n^n$ eliminando viene $(n+1)^n/n^n$ che diverge
Ops scusate ho corretto la serie....
c'era un quadrato a denominatore....non capisco perchè secondo i miei calcoli la serie diverge mentre per il libro converge....mah
c'era un quadrato a denominatore....non capisco perchè secondo i miei calcoli la serie diverge mentre per il libro converge....mah
"tommi87":
al denominatore $(n+1)! * n^n$ eliminando viene $(n+1)^n/n^n$ che diverge
Ehm...
$(n+1)^n/n^n = (\frac{n+1}{n})^n = (1 + 1/n)^n$ che tende ad $e$
beh, una serie l'abbiamo studiata...
solo che non era quella seria
solo che non era quella seria
ahah comunque l'altra l'ho risolta sempre grazie all'accorgimento del limite notevole...
$\lim_{n \to \infty}(1-frac{1}{n})^n = e$
esercizio riuscito ma è stata un pò una faticaccia...
grazie 1000 per l'aiuto che mi avete dato...
$\lim_{n \to \infty}(1-frac{1}{n})^n = e$
esercizio riuscito ma è stata un pò una faticaccia...
grazie 1000 per l'aiuto che mi avete dato...
Siamo qui per servirla 
Buon proseguimento
Buon proseguimento
"qwerty90":
ahah comunque l'altra l'ho risolta sempre grazie all'accorgimento del limite notevole...
$\lim_{n \to \infty}(1-frac{1}{n})^n = e$
esercizio riuscito ma è stata un pò una faticaccia...
grazie 1000 per l'aiuto che mi avete dato...
Attento
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}[/tex].
"Mathematico":
Attento
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}[/tex].
si si ho sbagliato a scrivere!
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