Convergenza serie
Studiare, al variare di $x$ $inRR$, la convergenza della serie $\sum_(n=0)^(\infty)((n^2-2n+1)/(1+n^2))cos(3x)^n$
Allora, pongo $y=cos(3x)^n$ e utilizzando il criterio del rapporto studio la serie $\sum_(n=0)^(\infty)((n^2-2n+1)/(1+n^2))$
Ottengo che il limite è pari a 1 ovvero la serie converge per $|cos(3x)|<1$ ovvero $-1
Calcolandoli, la serie converge $AAx$ eccetto $x=(kpi)/3 AAkinNN$
Quello che ho fatto fino ad adesso è corretto?
Con questo il problema è terminato oppure bisogna valutare altro?
Grazie.
Allora, pongo $y=cos(3x)^n$ e utilizzando il criterio del rapporto studio la serie $\sum_(n=0)^(\infty)((n^2-2n+1)/(1+n^2))$
Ottengo che il limite è pari a 1 ovvero la serie converge per $|cos(3x)|<1$ ovvero $-1
Calcolandoli, la serie converge $AAx$ eccetto $x=(kpi)/3 AAkinNN$
Quello che ho fatto fino ad adesso è corretto?
Con questo il problema è terminato oppure bisogna valutare altro?
Grazie.
Risposte
A occhio mi pare che ciò che hai fatto sia corretto. Rimane però da dire cosa succede della serie se $\cos(3x)=1$ o
$\cos(3x)=-1$ (situazioni in cui il criterio del rapporto non basta a darti la convergenza ma neanche a garantirti che
la serie non converge). Direi di mettere $\cos(3x)$ eguale a $1$ o $-1$ e vedere cosa puoi dire sulle serie ottenute.
$\cos(3x)=-1$ (situazioni in cui il criterio del rapporto non basta a darti la convergenza ma neanche a garantirti che
la serie non converge). Direi di mettere $\cos(3x)$ eguale a $1$ o $-1$ e vedere cosa puoi dire sulle serie ottenute.
"ViciousGoblinEnters":
A occhio mi pare che ciò che hai fatto sia corretto. Rimane però da dire cosa succede della serie se $\cos(3x)=1$ o
$\cos(3x)=-1$ (situazioni in cui il criterio del rapporto non basta a darti la convergenza ma neanche a garantirti che
la serie non converge). Direi di mettere $\cos(3x)$ eguale a $1$ o $-1$ e vedere cosa puoi dire sulle serie ottenute.
Esatto ed ottengo le seguenti due serie:
1) $\sum_(n=0)^(\infty)(n^2-2n+1)/(1+n^2)$
2) $\sum_(n=0)^(\infty)((n^2-2n+1)/(1+n^2))(-1)^n$
Che si può dire?
Bè la serie 1 è sempre a termini di segno positivo. Non rispetta la seguente condizione $lim_(n->+\infty)(n^2-2n+1)/(1+n^2)=0$ in quanto il limite è pari a 1, da ciò posso dire che la serie 1 diverge?
Per quanto riguarda la seconda è una serie a termini di segno alterno, questa serie non rispetta il criterio di Leibtinz in quanto $lim_(n->+\infty)(n^2-2n+1)/(1+n^2)=1$ da ciò posso assumere che la serie non converge?
Corretto o sbagliato?
Grazie
(1) è giusto!!
(2) potrebbe andare, ma non credo che tu abbia visto la dimostrazione di questo criterio di Leibniz "a rovescio"
Piu' semplice dire che anche in questo caso il termine generale della serie NON tende a zero (in quanto il suo valore assoluto tende a uno)
e quindi la serie NON può convergere
(2) potrebbe andare, ma non credo che tu abbia visto la dimostrazione di questo criterio di Leibniz "a rovescio"
Piu' semplice dire che anche in questo caso il termine generale della serie NON tende a zero (in quanto il suo valore assoluto tende a uno)
e quindi la serie NON può convergere
"ViciousGoblinEnters":
(2) potrebbe andare, ma non credo che tu abbia visto la dimostrazione di questo criterio di Leibniz "a rovescio"
Piu' semplice dire che anche in questo caso il termine generale della serie NON tende a zero (in quanto il suo valore assoluto tende a uno)
e quindi la serie NON può convergere
No, infatti non l'ho vista.
Quindi basta il criterio applicato al caso precedente, e non importa che la serie sia a termini di segno alterno. Dunque alla fine non essendo soddisfatto questo criterio posso affermare che la serie non converge. Non posso affermare che diverge non essendo a termini di segno positivo.
E' corretto?
Grazie!
Non posso affermare che diverge non essendo a termini di segno positivo.
Perfetto!!
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