Convergenza serie
Ciao... 
In un esercizio mi viene richiesto di determinare uno sviluppo in serie di Fourier che converga uniformemente alla funzione $f(x)=-|x|+pi$, sull'intervallo $[-pi,pi]$.
Ho svolto questo sviluppo ed ottengo $pi/2+sum_(k=1)^\infty (2(-1)^k-2)/(pik^2)cos(kx)$
Dovrei ora vedere se questa serie converge ed utilizzando il criterio di convergenza totale ho svolto i seguenti passi:
$pi/2+sum_(k=1)^\infty |(2(-1)^k-2)/(pik^2)cos(kx)| = pi/2+sum_(k=1)^\infty|cos(kx)|/(pik^2) <= pi/2+sum_(k=1)^\infty 1/k^2 < \infty$ e quindi converge. Questo perchè il max di $|cos(kx)|$ si ha quando lo stesso vale 1.
Sono corretti i passaggi effettuati e il risultato ottenuto? Oppure ho saltato dei pezzi?
In un esercizio mi viene richiesto di determinare uno sviluppo in serie di Fourier che converga uniformemente alla funzione $f(x)=-|x|+pi$, sull'intervallo $[-pi,pi]$.
Ho svolto questo sviluppo ed ottengo $pi/2+sum_(k=1)^\infty (2(-1)^k-2)/(pik^2)cos(kx)$
Dovrei ora vedere se questa serie converge ed utilizzando il criterio di convergenza totale ho svolto i seguenti passi:
$pi/2+sum_(k=1)^\infty |(2(-1)^k-2)/(pik^2)cos(kx)| = pi/2+sum_(k=1)^\infty|cos(kx)|/(pik^2) <= pi/2+sum_(k=1)^\infty 1/k^2 < \infty$ e quindi converge. Questo perchè il max di $|cos(kx)|$ si ha quando lo stesso vale 1.
Sono corretti i passaggi effettuati e il risultato ottenuto? Oppure ho saltato dei pezzi?
Risposte
Non è superfluo il controllo della convergenza? La serie di Fourier, per come è definita, converge sempre nel senso dell'energia in uno spazio di Hilbert. Ora tu sei in $L^2(-pi,pi)$...
"Kroldar":
Non è superfluo il controllo della convergenza? La serie di Fourier, per come è definita, converge sempre nel senso dell'energia in uno spazio di Hilbert. Ora tu sei in $L^2(-pi,pi)$...
E'... in certi compiti chiede di verificare la convergenza... Sarà per controllare se si è in grado di usare il criterio...
E' giusto comunque?
Credo di sì. Ad essere fiscali la seconda sommatoria andava fatta solo sui $k$ dispari
"Kroldar":
Credo di sì. Ad essere fiscali la seconda sommatoria andava fatta solo sui $k$ dispari
Comunque nello sviluppo io mi trovo
$a_0=pi/2$
$a_k=(2-2*(-1)^k)/(pik^2$
$b_k=0$
la differenza con te è che il tuo $a_k$ è di segno opposto al mio $a_k$
Poi tutto OK nella dimostrazione della convergenza, a parte ovviamente l'estensione della serie sui $k$ dispari
No, io ho controllato solo la convergenza, ho dato per buono lo sviluppo.
Si, per lo sviluppo hai ragione tu!
Esattamente come dovrei procedere per considerare i k dispari?
Esattamente come dovrei procedere per considerare i k dispari?
"enigmagame":
Si, per lo sviluppo hai ragione tu!
Esattamente come dovrei procedere per considerare i k dispari?
Tu sai che $2-2*(-1)^k=0$ se $k$ è pari ed invece $2-2*(-1)^k=4$ per $k$ dispari
Per cui
$f(x)=pi/2+sum_(k=1,k dispari)^\infty (-2(-1)^k+2)/(pik^2)cos(kx)$
Per la dimostrazione della convergenza poi tutto fila.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo