Convergenza serie

[rocco.g1]

Posto qui alcuni dubbi che ho incontrato studiando la convergenza di alcune serie.

1) Data la serie di funzioni:

stabilire se converge totalmente in I = [0, +inf).

E questo l'ho dimostrato trovando il punto in cui si annulla la derivata prima ed in tale punto vale M_n = 1 / ( en ) che è diverso da zero, perciò la serie non converge totalmente.

Però non ho capito perchè invece la stessa serie converge totalmente in I = [1, +inf), il testo lo svolge come:
M_n = sup{ xe^(-nx) : x >= 1} e trova che M_n = 1/e^n, da cui si vede che converge. Ma da dove gli esce questo risultato ?!

2) di questo esercizio invece non ho proprio capito che fare, qualcuno mi spiega come si arriva alla soluzione?

la serie delle f_n è così definita:



dice che converge per 0=< x < 1/e e per x = -1

non capisco come arrivi a questi risultati...

help me, please...

[Sk_Anonymous]

C'e' un po' di confusione; una serie di funzioni converge totalmente se converge la serie delle norme delle funzioni in un'opportuna convergenza, che qui mi pare di capire sia la convergenza uniforme. Una volta quindi trovato il sup di f_n, va verificato se la serie di questi sup (che ora e' una serie numerica) converge o no. Quindi alla fin fine basta calcolare correttamente il sup delle f_n. Attenzione che [1,infty) non e' aperto, per cui il punto di massimo (che non e' detto nemmeno che ci sia) non necessariamente annulla la derivata prima.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[david_e1]

Per l'esercizio 2 e' sufficiente "splittare" il problema. Ovvero risolvere separatamente nel caso x>=0 e nel caso x<0.

[rocco.g1]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

C'e' un po' di confusione; una serie di funzioni converge totalmente se converge la serie delle norme delle funzioni in un'opportuna convergenza, che qui mi pare di capire sia la convergenza uniforme.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

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ecco anche a me sembrava cosi', però il testo dell'esercizio diceva così... ed io mi sono fidato...

cmq come faccio a trovare il punto di max in [1, +inf), se non sempre è il punto in cui si annulla la derivata... allora il procedimento quale sarebbe ?


p.s. david_e, provo a splittare il problema, vediamo che esce

[david_e1]

Beh per trovare il max in [1 +inf) prima trova il max in (1 +inf) dopo di che guarda il valore in 1 e controlla se e' piu' grande del max in (1 +inf); se non c'e' il max in (1 +inf) e la derivata prima e' sempre negativa allora la funzione e' decrescente e il max e' sicuramente in 1, se e' sempre positiva allora non c'e' il max e il sup e' a +inf. Altrimenti bisogna valutare caso per caso aiutandosi col grafico....