Convergenza serie
sia data la serie $ sum_(n =0)^{+oo} (-1)^n1/n $ .
la convergenza semplice riesco a dimostrarla molto facile usando il criterio di Leibniz, ma non sono sicuro del fatto che l'assoluta convergenza sia dovuto al fatto che il $ lim_(n -> +oo) (-1)^n1/|n| $ non esiste perchè non esiste il $ lim_(n -> +oo) (-1)^n $ .
la convergenza semplice riesco a dimostrarla molto facile usando il criterio di Leibniz, ma non sono sicuro del fatto che l'assoluta convergenza sia dovuto al fatto che il $ lim_(n -> +oo) (-1)^n1/|n| $ non esiste perchè non esiste il $ lim_(n -> +oo) (-1)^n $ .
Risposte
L'assoluta convergenza non c'è perchè $|(-1)^n/n|=1/n$ e la serie armonica diverge.
Due cose: le serie a termini di segno alterno, con $a_n \geq 0$, si scrivono come
$$\sum_{n=n_0}^{\infty} (-1)^n a_n$$
Perciò quando verifichi/smentisci la condizione necessaria di convergenza, devi calcolare solamente
$$\lim_{n \to \infty} a_n$$
A parte questo, esiste eccome il limite che hai riportato: infatti
$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{1}{|n|}=0$$
Suggerimento: $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Per concludere lo studio dell'assoluta convergenza, attieniti alla risposta di Luca.Lussardi.
$$\sum_{n=n_0}^{\infty} (-1)^n a_n$$
Perciò quando verifichi/smentisci la condizione necessaria di convergenza, devi calcolare solamente
$$\lim_{n \to \infty} a_n$$
A parte questo, esiste eccome il limite che hai riportato: infatti
$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{1}{|n|}=0$$
Suggerimento: $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Per concludere lo studio dell'assoluta convergenza, attieniti alla risposta di Luca.Lussardi.
grazie infinite ragazzi!
Ciao itisscience,
Benvenuto sul forum!
Attenzione che la serie non può partire da $n = 0 $, ma almeno da $n = 1 $.
Come ti è già stato fatto osservare non c'è convergenza assoluta, ma c'è convergenza semplice che fra l'altro è anche semplice da determinare, dato che la serie proposta non è altro che un caso particolare della seguente:
$ln(1 + x) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n x^n/n $
che vale per $- 1 < x <= 1 $, per cui nel caso particolare $x = 1 $ si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n 1/n = - ln(2) ~~ - 0,69315 $
Benvenuto sul forum!
"itisscience":
sia data la serie $ \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 1/n $.
Attenzione che la serie non può partire da $n = 0 $, ma almeno da $n = 1 $.
Come ti è già stato fatto osservare non c'è convergenza assoluta, ma c'è convergenza semplice che fra l'altro è anche semplice da determinare, dato che la serie proposta non è altro che un caso particolare della seguente:
$ln(1 + x) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n x^n/n $
che vale per $- 1 < x <= 1 $, per cui nel caso particolare $x = 1 $ si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n 1/n = - ln(2) ~~ - 0,69315 $
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