Convergenza serie

[galles90]

Buonasera,

ho il seguente esercizio, di cui occorre determinare la convergenza;

$sum_2^infty ((log^2(1+1/n^a))/(log^2(n)))$

Vi riporto il mio svolgimento, vi chiedo se è corretto e inoltre qualora fosse corretto, ditemi se posso aggiungere qualcosa per renderlo migliore;

$a_n ge 0 forall n ge 2 $


Vista la struttura del termine generale $a_n$, procedo applicando il criterio del confronto asintotico, per cui mi riconduco lo studio della serie assegnata, ad una nuova serie di termine generale $b_n$,

si ha:

1. $log^2(1+1/n^a) ~1/n^(2a) $ per $n to +infty $
2. $log^2n ~ n^2 $ per $ n to +infty $

Per cui il nuove termine generale della serie risulta $b_n=1/(n^(2a-2))$

Quindi la serie data, è una seria geometria la quale risulta essere convergente per $a>3/2$.

Allora per il criterio del confronto asintotico la serie di partenza coverge per $a>3/2$.

Ditemi come sono andato

Ciao

[pilloeffe]

Ciao galles90,

"galles90":Ditemi come sono andato

Bene la prima parte, male qui:

"galles90": 2. $log^2n ~ n^2 $ per $n \to +\infty $

Mi giunge nuova...
E qui:

"galles90":Quindi la serie data, è una seria geometrica la quale risulta essere [...]

Non è una serie geometrica, casomai è una serie armonica generalizzata...
Avrei fatto semplicemente così:

$\sum_{n = 2}^{+\infty} (log^2(1+1/n^a))/(log^2(n)) <= \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{2a}log^2(n)) $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata di tipo II che converge se $2a >= 1 \implies a >= 1/2 $

[galles90]

Ciao pilloeffe,

si volevo dire serie armonica generalizzata

Grazie