Convergenza serie

[dRic]

Quando vado a studiare la convergenza o meno di una serie, per esempio con il criterio del rapporto, non capisco la differenza tra dire che:

$$ \frac {a_{n+1}} {a_n} \le \lambda \space , \lambda \in (0, 1)$$

e

$$ \frac {a_{n+1}} {a_n} < 1 $$

(dove ovviamente intendo che il termine di sinistra della disuguaglianza sia maggiore di 0) ?

Nel caso aveste voglia potreste farmi un esempio in cui la seconda definizione non regge ?

Grazie
Ric

[gugo82]

Serie armonica.

[dRic]

Nel caso della serie armonica viene $\frac n {n+1} -> 1$ per $ n-> \infty$ la serie armonica però non converge e quindi ho un problema... e fin qui ci sono.

Però se faccio la stessa cosa con $1/n^2$ viene $\frac {n^2} {(n+1)^2} -> 1$ per $ n-> \infty$ che però in questo caso converge...

Non capisco dove la prima definizione possa venire in aiuto. (magari è una cosa semplice, ma sono scarso in matematica)

[gugo82]

Stai scambiando una condizione sufficiente con una condizione necessaria.

[dRic]

Il mio problema è che non capisco la differenza tra scrivere il criterio del rapporto nei 2 modi, che a me sembrano uguali...

[gugo82]

Vedila così: la prima condizione impedisce al rapporto di avvicinarsi indefinitamente ad $1$, mentre la seconda no.
Ed è proprio questo che ti frega nel secondo caso.

[dRic]

Scusami per il ritardo. Forse credo di esserci arrivato, ma scusa un ultima domanda. Usando solo il criterio del rapporto non posso dire che $1/n$ diverge o che $1/n^2$ converge, giusto? Se usassi solo il criterio del rapporto troverei che per entrambe non è rispettato. Giusto ?

[gugo82]

Esatto.

[dRic]

Grazie