Convergenza serie
Buonasera, oggi mi sono imbattuto in un esercizio nel quale mi chiedeva per quali valori la seguente serie converge.
$ sum_(n=1) ^oo ((3x+1)^(2n)+root(3)((n) ))/(n4^n) $
Io avevo pensato di razionalizzare la radice ma non mi è di nessun aiuto.
Qualcuno potrebbe gentilmente indicarmi una strada per calcolare il valore.
Grazie.
$ sum_(n=1) ^oo ((3x+1)^(2n)+root(3)((n) ))/(n4^n) $
Io avevo pensato di razionalizzare la radice ma non mi è di nessun aiuto.
Qualcuno potrebbe gentilmente indicarmi una strada per calcolare il valore.
Grazie.
Risposte
Ciao Dot.who,
La serie proposta è formata da due serie:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} ((3x+1)^(2n)+root(3){n})/(n 4^n) = sum_{n = 1}^{+\infty} ((3x+1)^(2n))/(n 4^n) + sum_{n = 1}^{+\infty} (root(3){n})/(n 4^n) = sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{(3x+1)^(2)}{4}]^n/n + sum_{n = 1}^{+\infty} (root(3){n})/(n 4^n) $
La seconda serie scritta è a termini positivi e non dipende da $x $: col criterio del rapporto non è difficile scoprire che è convergente. La prima serie scritta, posto $y := frac{(3x+1)^(2)}{4} $, è una vecchia conoscenza, trattandosi della serie seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) \qquad $ per $|y| < 1 $
Perciò, ricordando il valore di $y > 0 $, nel caso in esame si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{(3x+1)^(2)}{4}]^n/n = - ln[1 - frac{(3x+1)^(2)}{4}] = - ln[-3/4(3x^2 + 2x - 1)] $
per $(3x + 1)^2 < 4 \iff - 1 < x < 1/3 $
La serie proposta è formata da due serie:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} ((3x+1)^(2n)+root(3){n})/(n 4^n) = sum_{n = 1}^{+\infty} ((3x+1)^(2n))/(n 4^n) + sum_{n = 1}^{+\infty} (root(3){n})/(n 4^n) = sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{(3x+1)^(2)}{4}]^n/n + sum_{n = 1}^{+\infty} (root(3){n})/(n 4^n) $
La seconda serie scritta è a termini positivi e non dipende da $x $: col criterio del rapporto non è difficile scoprire che è convergente. La prima serie scritta, posto $y := frac{(3x+1)^(2)}{4} $, è una vecchia conoscenza, trattandosi della serie seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) \qquad $ per $|y| < 1 $
Perciò, ricordando il valore di $y > 0 $, nel caso in esame si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{(3x+1)^(2)}{4}]^n/n = - ln[1 - frac{(3x+1)^(2)}{4}] = - ln[-3/4(3x^2 + 2x - 1)] $
per $(3x + 1)^2 < 4 \iff - 1 < x < 1/3 $
Grazie mille, non mi ero reso conto che il secondo termine fosse senza la x quindi da considerare 0.
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