Convergenza serie

[zio_mangrovia]

$\sum_{k=1}^\infty(log(1+nx))/n$ deinita per $x>=0$

per quali valori converge?
Immagino debba trasformarla in modo da riconoscerla come serie di potenze o come geometrica, ma non ne esco.
Pensavo a questo con $x=1$
$log(1+n)/n$ $>$ $1/n$ in quanto $log(1+n)/n>log(e)/n$ dove la serie chiaramente diverge

[otta96]

Asintoticamente quella è equivalente a $lnn/n$, ora sai concludere?

[zio_mangrovia]

"otta96":Asintoticamente quella è equivalente a $lnn/n$, ora sai concludere?

si perché $lnn/n>1/n$ quindi diverge.

Ma mi chiedo perché è asintoticamente uguale $lnn/n$, nell'espressione $1+nx$ il valore $1$ è trascurabile ma la $x$ non la si considera?
Inoltre l'unico valore a questo punto è per $x=0$ dove la serie diverge.

[otta96]

Se $x=0$, come hai detto, la serie converge perché sono nulli tutti i termini, se $x>0$ $ln(nx)=lnx+lnn$, che al tendere di n a infinito è equivalente a $lnn$.