Convergenza serie

[Magma1]

Studiare per $alpha in RR$ la convergenza della serie

$sum_(k=1)^(oo) k^(2alpha) ln(1+k^alpha)$

Ho provato con il confronto asintotico dopo aver posto $h=1/k$

$lim_(h->0^+) ln(1+1/h^alpha)/(h^(2alpha+beta))$

Tra l'altro $1/h^alpha$ tende a $+oo$ per $h->0^+$, quindi non posso considerare la stima asintotica del logaritmo...

Qualche indizio?

[dan952]

Con $\alpha>0$ la condizione necessaria per la convergenza non è mai soddisfatta

[Magma1]

Avevo confuso la traccia, è $AA alpha in RR$

[Magma1]

Per $alpha<0$

$lim_(x->+oo) ln(1+k^a) ~ k^alpha$

Dunque ho

$lim_(x->+oo) k^(2alpha+beta)*k^alpha=lim_(x->+oo) k^(3alpha+beta)=0$

La serie converge per $beta>1 hArr -3alpha >1 hArr alpha<1/3 ^^ alpha<0 rArr alpha <0$