Convergenza Serie

[anto_zoolander]

Ciao

Dovevo studiare il carattere di $sum_(n=1)^(infty)1/(n2^n)$

pensavo... considerando

$sum_(n=1)^(k)1/(n2^n),kinNN^>$

applico cauchy-schwarz

$sum_(n=1)^(k)1/(n2^n)leqsqrt((sum_(n=1)^(k)1/n^2)(sum_(n=1)^(k)1/4^n))$

Ora non mi sembra una cosa così malvagia mandare a limite la situazione

$0leqsum_(n=1)^(infty)1/(n2^n)leqsqrt(pi^2/6*(1/(1-1/4)-1))=pi/(3sqrt2)$

[feddy]

Il termine generale è asintotico a $1/(2^n)$ per $n->+infty$

Usando il criterio della radice si ha che $ lim_(n -> +infty) root(n)(a_n) =1/2 <1 $ e pertanto la serie converge.

[anto_zoolander]

I criteri li uso come ultima spiaggia, infatti la richiesta è sapere se questa soluzione è corretta.

Anche perché così saprei che $0leqsum_(n=1)^(infty)1/(n2^n)leqpi/(3sqrt2)$

[anto_zoolander]

Nessuno che può dirmi se il passaggio a limite in Cauchy-Schwarz è consentito?

[donald_zeka]

Perché non dovrebbe essere consentito, date due successioni $a_n$ e $b_n$, se risulta $a_n>=b_n$ allora $lim_(n->oo)a_n>=lim_(n->oo)b_n$

[Overflow94]

Provo a rispondere anche se sono nuovo a questo tipo di concetti infatti l'esercizio mi serve e mi interessa per mettere in pratica un po' di nozioni che ho sottomano.

Il risultato che hai trovato è sicuramente corretto, lo si può verificare costruendo lo spazio delle successioni $ F={a_n:sum^(oo)(a_n)^2
Su questo spazio definiamo $ = sum^(oo)a_nb_n $ che rispetta le proprietà del prodotto scalare: è bilineare ed è maggiore o uguale a zero in $ $ ed è sempre definito poiché come abbiamo visto tale serie converge per gli elementi dello spazio.
Possiamo applicare la disuguaglianza di Schwarz che ci dice che $ ||<=sqrt( $ , il risultato che volevi dimostrare.

[anto_zoolander]

@Vulpasir
E quindi vale anche per se definisco la serie come successione si somme parziali, giustamente. Grazie

@Overflow
Mi piacerebbe capirlo, ma all'università ci entro tra poco
Lo apprezzerò maggiormente tra un po', nel frattempo grazie