Convergenza serie

[dilettabenedetti]

Deo studiare per quali valori di $b$ questa serie converge:

$\sum_{n=1}^infty n2^(-n^b) $

Io avrei considerato $2^(-n^b)$ come $e^-n$ e, poichè tende a zero, si sarebbe comportato come $(1-n^b)$ .. Non so se è giusto come ragionamento però.. Qualcuno può chiarirmi le idee? grazie

[poppilop]

Dato che risulta una serie a termini positivi, se non ho visto male, ti consiglierei, essendo la condizione necessaria rispettata, di applicare il criterio della radice

[dilettabenedetti]

Perciò verrebbe:

$\lim_(n->infty) ((n)^(1/n))/((2^(n^b)))^(1/n) $ = $\lim_(n->infty) 1/2^b$

Dunque la serie converge per $b>1$?

[poppilop]

C'è un piccolo errore nell'applicazione del criterio.
Nel momento in cui si fa la radice n-esima del denominatore
$(2^(n^b))^(1/n)= 2^(n^(b/n))$

Di qui, facendo il limite, dovremmo accorgerci che la serie converge per ogni valore di b

[quantunquemente]

quindi anche per $b=0$,ad esempio?

[poppilop]

Per $b=0$, se sostituissimo nella serie di partenza, ci accorgiamo che la condizione necessaria non e' verificata. Dunque dovremmo dire che l'applicazione del criterio vale per $b!=0$ che merita un caso a parte?

[quantunquemente]

e,ad esempio,cosa succede per $b=-1$?

[poppilop]

@quantunquemente Che metodo applicare allora?

[quantunquemente]

assodato che per $bleq0$ la serie diverge ,riprenderei,per $b>0$,il criterio della radice con il quale ci si riconduce a
$ lim_(n-> +infty) 1/2^(n^(b-1)) $