Convergenza serie
Buongiorno.
Vi propongo due esercizi in cui avrei bisogno del vostro aiuto
.
Es1. Data la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(x-3)^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} \), con \( x\in\mathbb{R} \), stabilire se la serie converge, al variare del parametro reale $x$.
Es2. Si consideri la funzione \( f(x)=\sqrt{x}\ln{(1+\sqrt{x})}-\sin{x} \)
a. Studiare la convergenza della serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} {\frac{1}{f(x)}} \) .
b. Studiare la convergenza dell'integrale \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \).
Ho provato a risolvere gli esercizi in questo modo.
Es1. Uso il criterio della radice poiché la serie è a termini non negativi.
Calcolo \( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{(x-3)^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}}=(x-3)^{2}(1+\frac{1}{n})^{n}\longrightarrow (x-3)^{2}e \) .
- Se \( (x-3)^{2}e<1 \) ossia \( x\in(3-\frac{1}{\sqrt{e}},3+\frac{1}{\sqrt{e}}) \) la serie converge.
- Se \( (x-3)^{2}e>1 \) ossia \( x\in(-\infty,3-\frac{1}{\sqrt{e}})\cup(3+\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty) \) allora la serie diverge.
- Se \( x=\pm \frac{1}{\sqrt{e}}+3 \) non si può dire nulla.
Allora studio la serie con \( x=\pm \frac{1}{\sqrt{e}}+3 \), ossia \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{e}})^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{e})^{n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} \).
Quest'ultimo caso ho dei dubbi. Non riesco a capire l'ordine del limite (tende a $0$)
Es2. Quello che ho fatto vi sembra corretto?
Osserviamo con brevi conti che sicuramente $f(x)>0$ per \( x\geq 3 \).
a. La serie considerata è a termini positivi.
\( f(\frac{1}{n})=\sqrt{\frac{1}{n}}\ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}-\sin{(\frac{1}{n})}\longrightarrow 0 \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Quindi la condizione necessaria affinché la serie converga è soddisfatta.
Osservo che \( \ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}\sim \sqrt{\frac{1}{n}} \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Allora \( \sqrt{\frac{1}{n}}\ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}-\sin{(\frac{1}{n})}\sim \sqrt{\frac{1}{n}}\sqrt{\frac{1}{n}}-\sin{(\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})} \) per \( n\rightarrow +\infty \)
Per lo sviluppo di Mac Laurin ho che \( \frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3!n^3}+o(\frac{1}{n^3})=\frac{1}{3!n^3}+o(\frac{1}{n^3}) \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Quindi \( \frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})}\sim \frac{1}{n^3} \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Poiché \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} \) converge siccome il termine generale va a $0$ di ordine 3, allora la serie iniziale converge.
b. \( f(x) \) oltre ad essere positiva è anche strettamente crescente per \( x\geq 3 \).
Allora \( \frac{1}{f(x)} \) è decrescente in \( [3,+\infty) \) e ivi a termini positivi. Allora per il criterio del confronto integrale abbiamo che \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \) converge \( \iff \) \( \displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty} {\frac{1}{f(1/n)}} \) converge. Per il punto precedente sappiamo che la serie converge quindi converge anche l'integrale.
EDIT: Ringrazio dani95, oltre alla dipendenza da x che era ovviamente una dipendenza da n (...il copia ed incolla....
), mi sono accorto che è sbagliato come sto applicando il criterio del confronto integrale. Infatti sarebbe \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \) converge \( \iff \) \( \displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty} {\frac{1}{f(n)}} \) converge.
Vi propongo due esercizi in cui avrei bisogno del vostro aiuto
.Es1. Data la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(x-3)^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} \), con \( x\in\mathbb{R} \), stabilire se la serie converge, al variare del parametro reale $x$.
Es2. Si consideri la funzione \( f(x)=\sqrt{x}\ln{(1+\sqrt{x})}-\sin{x} \)
a. Studiare la convergenza della serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} {\frac{1}{f(x)}} \) .
b. Studiare la convergenza dell'integrale \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \).
Ho provato a risolvere gli esercizi in questo modo.
Es1. Uso il criterio della radice poiché la serie è a termini non negativi.
Calcolo \( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{(x-3)^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}}=(x-3)^{2}(1+\frac{1}{n})^{n}\longrightarrow (x-3)^{2}e \) .
- Se \( (x-3)^{2}e<1 \) ossia \( x\in(3-\frac{1}{\sqrt{e}},3+\frac{1}{\sqrt{e}}) \) la serie converge.
- Se \( (x-3)^{2}e>1 \) ossia \( x\in(-\infty,3-\frac{1}{\sqrt{e}})\cup(3+\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty) \) allora la serie diverge.
- Se \( x=\pm \frac{1}{\sqrt{e}}+3 \) non si può dire nulla.
Allora studio la serie con \( x=\pm \frac{1}{\sqrt{e}}+3 \), ossia \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{e}})^{2n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{e})^{n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} \).
Quest'ultimo caso ho dei dubbi. Non riesco a capire l'ordine del limite (tende a $0$)
Es2. Quello che ho fatto vi sembra corretto?
Osserviamo con brevi conti che sicuramente $f(x)>0$ per \( x\geq 3 \).
a. La serie considerata è a termini positivi.
\( f(\frac{1}{n})=\sqrt{\frac{1}{n}}\ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}-\sin{(\frac{1}{n})}\longrightarrow 0 \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Quindi la condizione necessaria affinché la serie converga è soddisfatta.
Osservo che \( \ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}\sim \sqrt{\frac{1}{n}} \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Allora \( \sqrt{\frac{1}{n}}\ln{(1+\sqrt{\frac{1}{n}})}-\sin{(\frac{1}{n})}\sim \sqrt{\frac{1}{n}}\sqrt{\frac{1}{n}}-\sin{(\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})} \) per \( n\rightarrow +\infty \)
Per lo sviluppo di Mac Laurin ho che \( \frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3!n^3}+o(\frac{1}{n^3})=\frac{1}{3!n^3}+o(\frac{1}{n^3}) \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Quindi \( \frac{1}{n}-\sin{(\frac{1}{n})}\sim \frac{1}{n^3} \) per \( n\rightarrow +\infty \).
Poiché \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} \) converge siccome il termine generale va a $0$ di ordine 3, allora la serie iniziale converge.
b. \( f(x) \) oltre ad essere positiva è anche strettamente crescente per \( x\geq 3 \).
Allora \( \frac{1}{f(x)} \) è decrescente in \( [3,+\infty) \) e ivi a termini positivi. Allora per il criterio del confronto integrale abbiamo che \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \) converge \( \iff \) \( \displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty} {\frac{1}{f(1/n)}} \) converge. Per il punto precedente sappiamo che la serie converge quindi converge anche l'integrale.
EDIT: Ringrazio dani95, oltre alla dipendenza da x che era ovviamente una dipendenza da n (...il copia ed incolla....
), mi sono accorto che è sbagliato come sto applicando il criterio del confronto integrale. Infatti sarebbe \( \displaystyle\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{f(x)}}dx \) converge \( \iff \) \( \displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty} {\frac{1}{f(n)}} \) converge.
Risposte
"Davi90":
Es2. Si consideri la funzione \( f(x)=\sqrt{x}\ln{(1+\sqrt{x})}-\sin{x} \)
a. Studiare la convergenza della serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} {\frac{1}{f(x)}} \) .
C'è qualcosa che non va, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{f(x)}\sum_{n=1}^{+\infty}$
"Davi90":
Quest'ultimo caso ho dei dubbi. Non riesco a capire l'ordine del limite (tende a $ 0 $)
Cosa non ti è chiaro?
$\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{-n}(1+1/n)^{n^2}=0$
"dan95":
C'è qualcosa che non va, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{f(x)}\sum_{n=1}^{+\infty}$
Hai ragione ho modificato il post e messo un EDIT. Direi che il mio metodo è decisamente fallito
. come lo risolveresti?"dan95":
Cosa non ti è chiaro?
$\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{-n}(1+1/n)^{n^2}=0$
Il risultato del limite mi è chiaro. Quindi è rispettata la condizione necessaria affinché la serie converga. Ma mi è sorto il dubbio sull'ordine. La serie convergerebbe se il termine generale considerato andasse a 0 di ordine maggiore a 1. San Wolfram Alpha dice che la serie non converge mentre io avrei detto il contrario e ha sicuramente ragione Wolfram! Quindi perché non converge?
E invece no ci siam sbagliati quel limite non fa zero ecco perché wolfram ti dice che non converge
Grazie!Che babbo che sono! Wolfram dice che \( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} e^{-n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \)...non mi risulta così evidente da verificare a prima vista. Ci provo un po'.
Devo anche risolvere il punto b. del secondo esercizio.
Devo anche risolvere il punto b. del secondo esercizio.
Niente, non riesco a risolvere il limite. Qualcuno può darmi una mano?
$e^{-n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}=e^{-n}e^{n^2\ln(1+\frac{1}{n})}$
$\ln(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2})$
...
$\ln(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2})$
...
Grazie! Non avevo pensato di usare Taylor! Grazie mille!
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