Convergenza serie
$ sum_(n=1)^(+oo)n/(n^2+1)*(4x/(x^2+1))^n $
questa è la serie che ho studiato. Ora avrei alcune domande: mi risulta che la serie è convergente quando:
$ |4x/(x^2+1)|<1=> (x>0)=>4x 0<=x<2-3^(1/2)uu x>2+3^(1/2) $ $ 4x/(x^2+1)> -1<=>x<-2-(3)^(1/2)uu-2+(3)^(1/2) $ .
I dubbi sono questi:
1) Prima di tutto quando ho risolto la disequazione $|4x/(x^2+1)|<1$ ho supposto $x>0$ e poi ho elevato al quadrato i membri della disequazione. Naturalmente voi vi domanderete il perchè! Beh l' ho fatto perchè in tutta onestà ancora riesco a capire il meccanismo che c' è nell' elevamento al quadrato. Avrei potuto benissimo risolvere la disequazione sottraendo o aggiungendo $1$ a seconda dei casi $x<0,x>0$ ma per fare più veloce ho pensato di usare quel metodo. Quindi ora le cose sono due; potete o dirmi che ho sbagliato e criticarmi
oppure potreste darmi suggerimenti su come e quando usare questa regola del quadrato e inculcarmela bene bene in testa nel modo giusto. Qui probabilmente non era necessario elevare al quadrato perchè ( ho poi pensato) è una disequazione che già mi dà due soluzioni distinte e quindi elevando ancora al quadrato mi modificherebbe solo le soluzioni...
2) se $x<0$ abbiamo visto che la condizione necessaria di convergenza viene a mancare quando$-2-(3)^(1/2)+oo))~~(-1)^n*1/n $ . Quest' ultimo limite è decrescente e tendente a 0 dunque la serie non dovrebbe essere convergente? Grazie per l' attenzione.
questa è la serie che ho studiato. Ora avrei alcune domande: mi risulta che la serie è convergente quando:
$ |4x/(x^2+1)|<1=> (x>0)=>4x
I dubbi sono questi:
1) Prima di tutto quando ho risolto la disequazione $|4x/(x^2+1)|<1$ ho supposto $x>0$ e poi ho elevato al quadrato i membri della disequazione. Naturalmente voi vi domanderete il perchè! Beh l' ho fatto perchè in tutta onestà ancora riesco a capire il meccanismo che c' è nell' elevamento al quadrato. Avrei potuto benissimo risolvere la disequazione sottraendo o aggiungendo $1$ a seconda dei casi $x<0,x>0$ ma per fare più veloce ho pensato di usare quel metodo. Quindi ora le cose sono due; potete o dirmi che ho sbagliato e criticarmi
oppure potreste darmi suggerimenti su come e quando usare questa regola del quadrato e inculcarmela bene bene in testa nel modo giusto. Qui probabilmente non era necessario elevare al quadrato perchè ( ho poi pensato) è una disequazione che già mi dà due soluzioni distinte e quindi elevando ancora al quadrato mi modificherebbe solo le soluzioni... 2) se $x<0$ abbiamo visto che la condizione necessaria di convergenza viene a mancare quando$-2-(3)^(1/2)
Risposte
Poichè si tratta dello studio di una serie, posto per semplicità di scrittura
\[t=\frac{4x}{x^2+1},\]
si tratta di studiare il crattere della serie (di potenze)
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1}t^n,\qquad t\in\mathbb{R};\]
evidentemente non abbiamo a che fare con una serie a termini positivi, pertanto considerando il valore assoluto del termine generale, ed applicando il criterio del rapporto, ad esempio, si ottiene:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\left|\frac{n}{n^2+1}t^n\right|\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}&\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)|t|^{n+1}}{(n+1)^2+1} \cdot\frac{n^2+1}{n|t|^n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ n+1 }{(n } \cdot\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\cdot \frac{|t|^{n}\cdot|t|}{ |t|^n}\\
&=|t|^n=
\begin{cases}
\mbox{se}&\quad |t|\le 1 \quad\mbox{converge}\\
\mbox{se}&\quad |t|=1 \quad\mbox{criterio inefficacie}\\
\mbox{se}&\quad |t|\ge1 \quad\mbox{non converge}
\end{cases};
\end{align}
allora la serie risulta convergente per i valori di $x$ tali che
\begin{align}
\left|\frac{4x}{x^2+1}\right|<1\quad& \Leftrightarrow\quad -1<\frac{4x}{x^2+1}<1\quad \Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}>-1\\
\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}<1
\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}
\displaystyle \frac{4x+x^2+1}{x^2+1}>0\\
\displaystyle \frac{4x-x^2-1}{x^2+1}<0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\quad \begin{cases}
\displaystyle \frac{x^2+4x+1}{x^2+1}>0\\
\displaystyle \frac{ x^2-4x+1}{x^2+1}>0\end{cases} \\
& \Leftrightarrow\quad
-2-\sqrt3< x\quad\cup\quad\sqrt3-22+\sqrt3.
\end{align}
si tratta di capire ora cosa succede per i valori di $x$ per i quali il criterio del rapporto fallisce, ossia:
\[t=\frac{4x}{x^2+1},\]
si tratta di studiare il crattere della serie (di potenze)
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1}t^n,\qquad t\in\mathbb{R};\]
evidentemente non abbiamo a che fare con una serie a termini positivi, pertanto considerando il valore assoluto del termine generale, ed applicando il criterio del rapporto, ad esempio, si ottiene:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\left|\frac{n}{n^2+1}t^n\right|\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}&\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)|t|^{n+1}}{(n+1)^2+1} \cdot\frac{n^2+1}{n|t|^n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ n+1 }{(n } \cdot\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\cdot \frac{|t|^{n}\cdot|t|}{ |t|^n}\\
&=|t|^n=
\begin{cases}
\mbox{se}&\quad |t|\le 1 \quad\mbox{converge}\\
\mbox{se}&\quad |t|=1 \quad\mbox{criterio inefficacie}\\
\mbox{se}&\quad |t|\ge1 \quad\mbox{non converge}
\end{cases};
\end{align}
allora la serie risulta convergente per i valori di $x$ tali che
\begin{align}
\left|\frac{4x}{x^2+1}\right|<1\quad& \Leftrightarrow\quad -1<\frac{4x}{x^2+1}<1\quad \Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}>-1\\
\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}<1
\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}
\displaystyle \frac{4x+x^2+1}{x^2+1}>0\\
\displaystyle \frac{4x-x^2-1}{x^2+1}<0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\quad \begin{cases}
\displaystyle \frac{x^2+4x+1}{x^2+1}>0\\
\displaystyle \frac{ x^2-4x+1}{x^2+1}>0\end{cases} \\
& \Leftrightarrow\quad
-2-\sqrt3< x\quad\cup\quad\sqrt3-2
\end{align}
si tratta di capire ora cosa succede per i valori di $x$ per i quali il criterio del rapporto fallisce, ossia:
[*:1d5mh1fb]$x=-2-\sqrt3:$
in tal caso la serie diviene:
\[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{n^2+1},\]
che risulta evidentemente semplicemente convergente per il criterio di Liebniz;[/*:m:1d5mh1fb]
[*:1d5mh1fb]$x=\sqrt3-2:$
in tal caso la serie diviene:
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1},\]
che risulta evidentemente divergente, essendo assintoticamente equivaliente alla serie di termine generale $1/n$; [/*:m:1d5mh1fb]
[*:1d5mh1fb]$x=2-\sqrt3:$
in tal caso la serie diviene:
\[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{n^2+1},\]
che risulta evidentemente semplicemente convergente per il criterio di Liebniz;[/*:m:1d5mh1fb]
[*:1d5mh1fb]$x=2+\sqrt3:$
in tal caso la serie diviene:
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1},\]
che risulta evidentemente divergente, per le stesse ragioni sopra.[/*:m:1d5mh1fb][/list:u:1d5mh1fb]
In definitiva la serie converge assolutamente per $-2-\sqrt3< x\quad\cup\quad\sqrt3-2
ti ringrazio noisemaker! dato che ci sono allora ti faccio un' altra domanda:
$sum_(n=3)^(+oo)(-1)^n arctg(ln(n^(12alpha^2+alpha+1/2)+3)-6alpha*ln(n))$
qui il dominio di $D(alpha):=RR$ dunque devo capire a cosa tende l' argomento del logaritmo per vedere a cosa tende l' arcotangente.
Innanzitutto il primo logaritmo ha discriminante negativo e quindi per $n->+oo=> ln(+oo), \forallalphainRR$ dunque non rimane che capire a cosa tende il secondo logaritmo al variare di $alpha$. Allora ho studiato prima di tutto la convergenza assoluta. Posto come ipotesi: $alpha>0$ allora la serie da un certo N in poi è asintoticamente uguale a :
$lim_(n->+oo) arctg(ln(y)+(n^(-6alpha)-1)^(-1))=pi/2$ e dunque non converge assolutamente in quanto manca la condizione necessaria: che sia infinitesima. Studiando la convergenza semplice ho un risultato che mi ha messo qualche dubbio:
i) la funzione è infinitesima? Direi di no; quindi viene a mancare una delle condizioni del criterio di Liebniz. Nello stesso tempo però, poichè tende a $pi/2$ e dunque è $sum_(n=3)^(+oo)(-1)^n(pi/2)$ la serie è una somma di termini che si elidono l' un l' altro. Come dovrei dunque concludere la trattazione?
Infine se$alpha<0$ abbiamo che l' arcotangente tende sempre a $pi/2$ e quindi abbiamo gli stessi casi.
Ora ho che o la serie diverge $\forallalpha in RR$ o converge semplicemente $\forallalphain RR$.
Inoltre ho una domanda diversa dal caso in questione:
Quando ho una serie a termini alterni e voglio vedere se è decrescente e infinitesima posso, prima di farne la derivata, cercare di trovare una stima asintotica e poi farne la derivata? Si faciliterebbero di molto i calcoli ... Ma non sono molto sicuro che sia consentito. In ogni caso gli altri criteri (es. della radice, rapporto ecc.) li uso anche dopo aver trovato la stima asintotica e sono sempre andati bene...
Grazie ancora
$sum_(n=3)^(+oo)(-1)^n arctg(ln(n^(12alpha^2+alpha+1/2)+3)-6alpha*ln(n))$
qui il dominio di $D(alpha):=RR$ dunque devo capire a cosa tende l' argomento del logaritmo per vedere a cosa tende l' arcotangente.
Innanzitutto il primo logaritmo ha discriminante negativo e quindi per $n->+oo=> ln(+oo), \forallalphainRR$ dunque non rimane che capire a cosa tende il secondo logaritmo al variare di $alpha$. Allora ho studiato prima di tutto la convergenza assoluta. Posto come ipotesi: $alpha>0$ allora la serie da un certo N in poi è asintoticamente uguale a :
$lim_(n->+oo) arctg(ln(y)+(n^(-6alpha)-1)^(-1))=pi/2$ e dunque non converge assolutamente in quanto manca la condizione necessaria: che sia infinitesima. Studiando la convergenza semplice ho un risultato che mi ha messo qualche dubbio:
i) la funzione è infinitesima? Direi di no; quindi viene a mancare una delle condizioni del criterio di Liebniz. Nello stesso tempo però, poichè tende a $pi/2$ e dunque è $sum_(n=3)^(+oo)(-1)^n(pi/2)$ la serie è una somma di termini che si elidono l' un l' altro. Come dovrei dunque concludere la trattazione?
Infine se$alpha<0$ abbiamo che l' arcotangente tende sempre a $pi/2$ e quindi abbiamo gli stessi casi.
Ora ho che o la serie diverge $\forallalpha in RR$ o converge semplicemente $\forallalphain RR$.
Inoltre ho una domanda diversa dal caso in questione:
Quando ho una serie a termini alterni e voglio vedere se è decrescente e infinitesima posso, prima di farne la derivata, cercare di trovare una stima asintotica e poi farne la derivata? Si faciliterebbero di molto i calcoli ... Ma non sono molto sicuro che sia consentito. In ogni caso gli altri criteri (es. della radice, rapporto ecc.) li uso anche dopo aver trovato la stima asintotica e sono sempre andati bene...
Grazie ancora
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