Convergenza serie

[andros1]

Devo dire studiare la convergenza di questa serie:
$sum_{n>=2}^(+infty) (-1)^n sqrt(log((n^2)/(n^2-1)))$
e credo di poter usare leibniz:
per $n->+infty $il termine generale è $ sqrt(log((n^2)/(n^2-1)))=0$ ma come faccio a dire che questo decresce?

[asker993]

bello questo, non sono sicuro ma penso che tu possa dire che decresce perchè dato che per $n$ piccoli è $>0$ il logaritmo dunque dato che per $x->+infty$ va a 0 deve per forza essere decrescente...o qualcosa del genere

[andros1]

Bisognerebbe invece dimostrare proprio che: $ sqrt(log((n^2)/(n^2-1)))> sqrt(log(((n+1)^2)/((n+1)^2-1))$

[Shocker1]

"andros":Bisognerebbe invece dimostrare proprio che: $ sqrt(log((n^2)/(n^2-1)))> sqrt(log(((n+1)^2)/((n+1)^2-1))$

Ci provo io!

Allora, innanzitutto possiamo osservare che:
$sqrt(log((n^2)/(n^2-1))) = sqrt( log( ((n^2 - 1)/n^2)^-1)) = sqrt( - log(1 - 1/n^2))$

Quindi la disequazione diventa:

$sqrt( - log(1 - 1/n^2)) > sqrt(-log(1 - 1/(n+1)^2))$
$- log(1 - 1/n^2) > -log(1 - 1/(n+1)^2)$
$log(1 - 1/n^2) < log(1 - 1/(n+1)^2) $
$1 - 1/n^2 < 1 - 1/(n+1)^2 $
$1/n^2 > 1/(n+1)^2$
Che è sempre vera in $NN$ con $n>=2$

Giusto?

Spero di non aver sbagliato nulla


Ciao

[andros1]

"Shocker":[quote="andros"]Bisognerebbe invece dimostrare proprio che: $ sqrt(log((n^2)/(n^2-1)))> sqrt(log(((n+1)^2)/((n+1)^2-1))$

Ci provo io!

Allora, innanzitutto possiamo osservare che:
$sqrt(log((n^2)/(n^2-1))) = sqrt( log( ((n^2 - 1)/n^2)^-1)) = sqrt( - log(1 - 1/n^2))$

Quindi la disequazione diventa:

$sqrt( - log(1 - 1/n^2)) > sqrt(-log(1 - 1/(n+1)^2))$
$- log(1 - 1/n^2) > -log(1 - 1/(n+1)^2)$
$log(1 - 1/n^2) < log(1 - 1/(n+1)^2) $
$1 - 1/n^2 < 1 - 1/(n+1)^2 $
$1/n^2 > 1/(n+1)^2$
Che è sempre vera in $NN$ con $n>=2$

Giusto?

Spero di non aver sbagliato nulla


Ciao [/quote]
Giusto.....si puo fare con leibniz