Convergenza serie
Ciao, ho un dubbio:
studianto $sum_k 1/(1-k^2) (2x+1)^k$, prendendo $a_k=1/(1-k^2)$ e portandolo a limite ottengo un raggio di onvergenza $r=1$.
Ora pero' non so come comportarmi perchè ho un $2x$, invece del oslito $x$. Ho pensato: il mio raggio di conv è $1$m quindi, essendo la serie centrata in $-1$, dovrebbe convergere in $(-2, 0) $. Pero', io ho un $2x$... quindi ... mi fa pensare che debba dividere per $2$ il mio $r$... ma comunque è solo "un idea" quindi ... boh, potete spiegarmi questo passaggio?
studianto $sum_k 1/(1-k^2) (2x+1)^k$, prendendo $a_k=1/(1-k^2)$ e portandolo a limite ottengo un raggio di onvergenza $r=1$.
Ora pero' non so come comportarmi perchè ho un $2x$, invece del oslito $x$. Ho pensato: il mio raggio di conv è $1$m quindi, essendo la serie centrata in $-1$, dovrebbe convergere in $(-2, 0) $. Pero', io ho un $2x$... quindi ... mi fa pensare che debba dividere per $2$ il mio $r$... ma comunque è solo "un idea" quindi ... boh, potete spiegarmi questo passaggio?
Risposte
Avresti
$-2 < 2x <0$.
Se vedi una catena di disuguaglianze come sistema - il modo più semplice - quello equivale a
${ ( 2x > -2 ),( 2x <0 ):}$
ovvero
${(x> -1),(x<0):}$.
dunque $-1
Potevi direttamente dividere per 2, come dici, e in questo caso funzionava. Però è meglio - my opinion - vedere la catena di disuguaglianze come sistema perché se poi compaiono cose più inquietanti come logaritmi non è così semplice risolverle in linea.
$-2 < 2x <0$.
Se vedi una catena di disuguaglianze come sistema - il modo più semplice - quello equivale a
${ ( 2x > -2 ),( 2x <0 ):}$
ovvero
${(x> -1),(x<0):}$.
dunque $-1
Potevi direttamente dividere per 2, come dici, e in questo caso funzionava. Però è meglio - my opinion - vedere la catena di disuguaglianze come sistema perché se poi compaiono cose più inquietanti come logaritmi non è così semplice risolverle in linea.
ma se io avessi fatto un ragionamento così:
Parto da $sum_k 1/(1-k^2) (2x+1)^k$ e me la riconduco in una forma che conosco: $sum_k 1/(1-k^2) 2(x+1/2)^k = sum_k 2/(1-k^2) (x+1/2)^k$ ??
avrei $a_k=2/(1-k^2)$ e se faccio il criterio del rapporto ho che: $L=lim_(k\to\infty)2/(1-(k+1)^2):2/(1-k^2)$ ...ehm no ... ritorno al punto di partenza.... pero'... se provassi:
$lim_k\root(k)(2/(1-k^2) (x+1/2)^k) = lim_k x+1/2$, poi guardo quando $|x+1/2|<1$... no ...
stendiamo un velo pietoso
Parto da $sum_k 1/(1-k^2) (2x+1)^k$ e me la riconduco in una forma che conosco: $sum_k 1/(1-k^2) 2(x+1/2)^k = sum_k 2/(1-k^2) (x+1/2)^k$ ??
avrei $a_k=2/(1-k^2)$ e se faccio il criterio del rapporto ho che: $L=lim_(k\to\infty)2/(1-(k+1)^2):2/(1-k^2)$ ...ehm no ... ritorno al punto di partenza.... pero'... se provassi:
$lim_k\root(k)(2/(1-k^2) (x+1/2)^k) = lim_k x+1/2$, poi guardo quando $|x+1/2|<1$... no ...
stendiamo un velo pietoso
ma perchè invece di complicarti l'esistenza, non poni $2x+1=t,$ in modo che la serie risulta scritta in forma normale:
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(2x+1)^n}{1-n^2}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{t^n}{1-n^2} \]
e studi la serie in funzione di $t$ e alla fine risostituisci?
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(2x+1)^n}{1-n^2}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{t^n}{1-n^2} \]
e studi la serie in funzione di $t$ e alla fine risostituisci?
"Noisemaker":
ma perchè invece di complicarti l'esistenza, non poni $2x+1=t,$
Perchè non c'ho pensato
Grazie ad entrambi ragazzi!
"BoG":
[quote="Noisemaker"]ma perchè invece di complicarti l'esistenza, non poni $2x+1=t,$
Perchè non c'ho pensato
Grazie ad entrambi ragazzi![/quote]Non c'è di che, ma rispondo per aggiungere una cosa. Hai scritto
"BoG":
ma se io avessi fatto un ragionamento così:
Parto da $ sum_k 1/(1-k^2) (2x+1)^k $ e me la riconduco in una forma che conosco: $ sum_k 1/(1-k^2) 2(x+1/2)^k = sum_k 2/(1-k^2) (x+1/2)^k $ ??
Calma e gesso quando si portano fuori le robe dalle parentesi.
$(2x+1)^k=(2(x+1/2))^k=2^k (x+1/2)^k$.
Grazie mille! Dimenticarmi le robe per strada è cio' che mi riesce meglio !
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