Convergenza serie...

[inv3rse]

Ciao a tutti, dovrei determinare per qualche valore del parametro $ alpha $ la seguente serie converge:

$ sum_(n = 1) (n+log(n^3))/(n^3+log(n^alpha) $

Come posso procedere?... Grazie mille a tutti...

[Zero87]

"inv3rse":Ciao a tutti, dovrei determinare per qualche valore del parametro $ alpha $ la seguente serie converge:
$ sum_(n = 1) (n+log(n^3))/(n^3+log(n^alpha) $

Mi sembra troppo facile dire
$(n+log(n^3))/(n^3+log(n^alpha)) ~ 1/(n^2)$
secondo me ci deve essere una qualche magagna sotto...

[size=80]Però se $\alpha <0$ avrei $log(n^(\alpha)) = log(1/(n^(-\alpha)))= -log(n^(-\alpha))$
con $-\alpha >0$ (questo dovrebbe confermare la mia idea, tra l'altro).[/size]

[Noisemaker]

nessuna magagna... gli ordii d'infinito parlano chiaro, converge per confronto con la serie armoni ca generalizzata per ogni $\alpha.$
@Zero87:
occhio che se $alpha<0$
$log(n^(\alpha)) = log(1/(n^( \alpha)))= -log(n^( \alpha))$

[Zero87]

"Noisemaker":@Zero87:
occhio che se $alpha<0$
$log(n^(\alpha)) = log(1/(n^( \alpha)))= -log(n^( \alpha))$

Occhio, Noisemaker
a prescindere dal segno di $\alpha$, $n^(\alpha)=1/(n^(-\alpha))$.

[inv3rse]

Ciao, grazie delle risposte... Quello che non capisco è come faccio a dire che la mia serie è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata?

[Noisemaker]

Be il termine generale della serie
\begin{align}
\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n+\ln n^3}{n^3+\ln n^{\alpha}},
\end{align}
è una successione a termini positivi; applicando il confronto asintotico si ha
\begin{align}
\frac{n+\ln n^3}{n^3+\ln n^{\alpha}}\sim \frac{n\left(1+\frac{\ln n^3}{n}\right)}{n^3\left(1+\frac{\ln n^{\alpha}}{n^3}\right)}\sim\frac{1}{n^2}.
\end{align}