Convergenza serie

[tazzo1]

Ciao a tutti,
Sia ${a_n}$ una successione di numeri positivi tale che la serie $ \sum_{n} a_n $ converge allora:
$ \sum_{n} root(3)a_n $
$ \sum_{n} a_n^2 $
convergono mentre invece
$ \sum_{n} root(2)a_n $
$ \sum_{n} a_n^3 $
divergono ma.. non capisco il perché. Qualcuno me lo può spiegare?

Grazie
Ciao

[Rigel1]

Delle quattro serie proposte, ciò che puoi dire con certezza a partire dall'ipotesi di convergenza della serie a termini non negativi \(\sum a_n\) è che \(\sum_n a_n^2\) e \(\sum_n a_n^3\) sono convergenti (prova a dimostrarlo).

[tazzo1]

Si mi ero sbagliato nello scrivere, le serie convergenti sono quelle con elevamento al quadrato ed al cubo

Forse ci sono, l'elevamento di potenza $x^n$ per x<1 è < di x per ogni n > 1

La serie per convergere deve tendere a 0 per n che tende ad infinito, quindi deve essere minore di 1 per n che tende ad infinito ed in pratica l'elevamento a potenza forma una serie minore della serie iniziale per n che tende ad infinito

Può essere un inizio del ragionamento ma sono ancora lontano dalla dimostrazione.. non so ancora bene esprimermi in termini matematici formali purtroppo

[Rigel1]

Va sostanzialmente bene.
Poiché \(\lim_n a_n = 0\) (condizione necessaria di convergenza), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(0\leq a_n \leq 1\) per ogni \(n\geq N\); di conseguenza \( 0\leq a_n^2 \leq a_n\) per ogni \(n\geq N\), dunque \(\sum a_n^2\) è convergente per il criterio del confronto. (Analogamente si ragiona per \(\sum_n a_n^3\).)