Convergenza serie
ciao a tutti
Risposte
Per trattare il comportamento di questa serie è facile applicare direttamente la definizione e quindi, studiare la successione delle ridotte $S_n=\sum_{k=2}^n arc cot(2k)-arc cot(2k-2)$.
Calcoliamo la successione delle ridotte per $n=2,3,4...$
$S_2=\sum_{k=2}^2 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=arc cot4-arc cot2$
$S_3=\sum_{k=2}^3 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=S_2+arc cot6-arc cot4=-arc cot2+arc cot6$
$S_4=\sum_{k=2}^4 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=S_3+arc cot8-arc cot6=-arc cot2+arc cot8$
Si deduce quindi com'è fatta la successione delle ridotte:
$S_n=\sum_{k=2}^n arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=-arc cot2+arc cot(2n)$
Quindi la somma della serie vale $S=\lim_{n \to \infty}-arc cot2+arc cot(2n)=-arc cot2$.
La serie numerica converge!
Calcoliamo la successione delle ridotte per $n=2,3,4...$
$S_2=\sum_{k=2}^2 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=arc cot4-arc cot2$
$S_3=\sum_{k=2}^3 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=S_2+arc cot6-arc cot4=-arc cot2+arc cot6$
$S_4=\sum_{k=2}^4 arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=S_3+arc cot8-arc cot6=-arc cot2+arc cot8$
Si deduce quindi com'è fatta la successione delle ridotte:
$S_n=\sum_{k=2}^n arc cot(2k)-arc cot(2k-2)=-arc cot2+arc cot(2n)$
Quindi la somma della serie vale $S=\lim_{n \to \infty}-arc cot2+arc cot(2n)=-arc cot2$.
La serie numerica converge!
anzitutto osserva che
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\arctan^{-1}(2n)-\arctan^{-1}(2n-2)=\sum_{n=2}^{+\infty}\arctan\frac{1}{2n} -\arctan\frac{1}{2n-2} \]
dopodichè ...direi confronto
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\arctan^{-1}(2n)-\arctan^{-1}(2n-2)=\sum_{n=2}^{+\infty}\arctan\frac{1}{2n} -\arctan\frac{1}{2n-2} \]
dopodichè ...direi confronto
"miry77":
Ciao a tutti, sto studiando le serie, ma mi sono imbattuta in questo esercizio che non riesco a risolvere.
Studiare la convergenza della serie:
sommatoria che va da n=2 a infinito di: arcocot(2n)-arccot(2n-2)
come si procede?
Utilizzando l'identita' trigonometrica...
$\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = tan^{-1} \frac{a-b}{1+a\ b}$ (1)
... il termine generale della serie diviene...
$a_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{1 + 2\ n^{2} -4\ n} < \frac{2}{1 + 2\ n^{2} -4\ n} < \frac{1}{(n-1)^{2}}$ (2)
... per cui la serie converge...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
- cosa intendi per successione delle ridotte??
- perchè 1/(arctan(2n))=arctan(1/2n)???
e usando questo metodo, che mi sembra il più rapido, come si procede col confronto? potresti scrivermi i passaggi?
e la somma come si calcola?
-usando l identità trigonometrica, come calcolo la somma?
- perchè 1/(arctan(2n))=arctan(1/2n)???
e usando questo metodo, che mi sembra il più rapido, come si procede col confronto? potresti scrivermi i passaggi?
e la somma come si calcola?
-usando l identità trigonometrica, come calcolo la somma?
Se $\sum_{k=1}^\infty\a_n$ è una serie numerica di termine generale la successione $a_n$.
La successione delle somme parziali (o delle ridotte) della serie di $a_n$ è definita in questo modo: $S_n=\sum_{k=1}^\n\a_n$.
Detto questo, per definizione si dice che la serie $\sum_{k=1}^\infty\a_n$ converge se e solo se la successione $S_n$ converge vale a dire ammette limite: in tal caso si definisce somma della serie $S$ il limite di convergenza della successione delle ridotte.
In formule $S=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^\n\a_n$.
La successione delle somme parziali (o delle ridotte) della serie di $a_n$ è definita in questo modo: $S_n=\sum_{k=1}^\n\a_n$.
Detto questo, per definizione si dice che la serie $\sum_{k=1}^\infty\a_n$ converge se e solo se la successione $S_n$ converge vale a dire ammette limite: in tal caso si definisce somma della serie $S$ il limite di convergenza della successione delle ridotte.
In formule $S=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^\n\a_n$.
"miry77":
- cosa intendi per successione delle ridotte??
- perchè 1/(arctan(2n))=arctan(1/2n)???
e usando questo metodo, che mi sembra il più rapido, come si procede col confronto? potresti scrivermi i passaggi?
e la somma come si calcola?
-usando l identità trigonometrica, come calcolo la somma?
Oltre a stabilire la convergenza occorre calcolare la somma?... qui occorre 'pensare un po di piu''
... cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
si purtroppo devo calcolare anke la somma!!! 
cosa che non ho capito proprio come fare..
cosa che non ho capito proprio come fare..
"miry77":
... si' purtroppo devo calcolare anke la somma!!!
Urka!
... se questo e' problema dato ad un esame e' piu' o meno come attaccare un carro armato con una baionetta! 
... Non diperare pero' cara Miry poiche', se si cerca con tranquillita' e sapendo che cosa si vuole, tutto si trova
... per prima cosa, come abbiamo gia' visto prima, applicando una nota identita' trigonometrica arriviamo a scrivere la serie come... $S=\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1} \frac{1}{n^{2}- \frac{1}{2}}$ (1)
Poi mi sono ricordato che tempo fa' ho trovato sul sito dell'Universita' di Bonn un ricco data base di 'somme e prodotti infiniti' che sono riuscito a salvare. Ebbene tra le serie vi e' la seguente...
$\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1} \frac{x}{n^{2} + a} = \pi\ \text {floor} (\frac{b}{\sqrt{2}}) + \tan^{-1} \frac{x}{b^{2}} - \tan^{-1} ( \tanh \frac {\pi\ x}{\sqrt{2}\ b}\ \cot \frac {\pi\ b}{\sqrt{2}} ),\ b= \sqrt{\sqrt{x^{2} + a^{2}} - a} $ (2)
... ed ora tutto quello che devi fare e' il calcolo della (2) con $x=1$ e $a= - \frac{1}{2}$... semplice non e' vero?
...cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
mitico:D! quindi per la somma molte volte ci sono delle formule "preconfezionate" ???
cmq si, sono tracce date ad esami passati...! infatti qui da noi, molti non riescono a fare l esame per via della difficoltà sovraumana degli esercizi dati -.- tralasciando il fatto che analisi I è annuale e senza esoneri -.-
cmq si, sono tracce date ad esami passati...! infatti qui da noi, molti non riescono a fare l esame per via della difficoltà sovraumana degli esercizi dati -.- tralasciando il fatto che analisi I è annuale e senza esoneri -.-
"miry77":
mitico:D! quindi per la somma molte volte ci sono delle formule "preconfezionate" ???
cmq si, sono tracce date ad esami passati...! infatti qui da noi, molti non riescono a fare l esame per via della difficoltà sovraumana degli esercizi dati -.- tralasciando il fatto che analisi I è annuale e senza esoneri -.-
Dunque mi confermi che una cosa del genere e' stata data come test di esame!
... a questo punto vorrei tanto sapere, a proposito di quel 'qui da noi' dove voi abitate!... tanto per essere chiari e affinche' tutti possano intendere, il data base da cui ho attinto la formula esplicita da me riportata e' stato creato da un professore dell'Universita' di Bonn allo scopo di agevolare i ricercatori evitando loro la fatica di 'scoprire verita' matematiche' che nell'arco dei secoli erano state gia' scoperte da altri matematici piu' o meno 'sconosciuti e dimenticati'. Pretendere pero' che tale data base sia presente nel cervello di una studente sottoposto a stress da esame e privato di ogni contatto col resto del mondo a me pare decisamente eccessivo!...cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Eh... non dirlo a me!!! se riesco ti mando le tracce d esame...fanno paura -.-!!
Comunque Università degli Studi della Basilicata... università sconosciuta eppure ricca di potenzialità, soprattutto nel campo dell'ingegneria...e mentre nei politecnici analisi I è da 6 crediti si e no, semestrale e con 14314 esoneri, da noi, che non ci calcola nessuno, è da 12 crediti, annuale e senza esoneri...e la professoressa è quella che è XD! poveri noi!
Comunque Università degli Studi della Basilicata... università sconosciuta eppure ricca di potenzialità, soprattutto nel campo dell'ingegneria...e mentre nei politecnici analisi I è da 6 crediti si e no, semestrale e con 14314 esoneri, da noi, che non ci calcola nessuno, è da 12 crediti, annuale e senza esoneri...e la professoressa è quella che è XD! poveri noi!
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