Convergenza serie
Per quali \(\displaystyle \alpha \) la serie converge?
\(\displaystyle \sum \frac {n+1}{n^2+n^{\alpha}} \)
Con il criterio del rapporto:
\(\displaystyle lim \frac{(n+1)+1}{(n+1)}* \frac{n^2+n^{\alpha}}{(n+1)^2+(n+1)^{\alpha}} \)
Per \(\displaystyle n->+\infty \) resta \(\displaystyle lim \frac{n^2+n^{\alpha}}{n^2+n^{\alpha}} \) no?
Quindi secondo me converge per ogni \(\displaystyle \alpha \)
Dove sbaglio?
\(\displaystyle \sum \frac {n+1}{n^2+n^{\alpha}} \)
Con il criterio del rapporto:
\(\displaystyle lim \frac{(n+1)+1}{(n+1)}* \frac{n^2+n^{\alpha}}{(n+1)^2+(n+1)^{\alpha}} \)
Per \(\displaystyle n->+\infty \) resta \(\displaystyle lim \frac{n^2+n^{\alpha}}{n^2+n^{\alpha}} \) no?
Quindi secondo me converge per ogni \(\displaystyle \alpha \)
Dove sbaglio?
Risposte
prova ad applicare il criterio del confronto asintotico
hai che
\[ \frac{n+1}{n^2+n^{\alpha} }\sim \frac{n }{n^2+n^{\alpha} }\]
e a questo punto devi stabilire l'infinito dominante a denominatore al variare del parametro $\alpha$
\[ \frac{n+1}{n^2+n^{\alpha} }\sim \frac{n }{n^2+n^{\alpha} }\]
e a questo punto devi stabilire l'infinito dominante a denominatore al variare del parametro $\alpha$
Ma....
se \(\displaystyle \alpha>2 \)
la serie è asintotica a \(\displaystyle \sum \frac{n}{n^{\alpha}} \ \) quindi ottengo \(\displaystyle \sum \frac{1}{n^{\alpha -1}} \) quindi converge perchè \(\displaystyle \alpha \) è sicuramente \(\displaystyle >1 \)
se \(\displaystyle \alpha <2 \):
\(\displaystyle \sum \frac{n}{n^2} \) diverge.. perchè è la serie armonica giusto?
se \(\displaystyle \alpha>2 \)
la serie è asintotica a \(\displaystyle \sum \frac{n}{n^{\alpha}} \ \) quindi ottengo \(\displaystyle \sum \frac{1}{n^{\alpha -1}} \) quindi converge perchè \(\displaystyle \alpha \) è sicuramente \(\displaystyle >1 \)
se \(\displaystyle \alpha <2 \):
\(\displaystyle \sum \frac{n}{n^2} \) diverge.. perchè è la serie armonica giusto?
^^ grazie 
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