Convergenza serei

[lepre561]

$\sum_{n=1}^infty ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^((n^3+n)/(n+1))$

per le stime asintotiche l'esponente va diventa $n^2$

Applicando il criterio della radice

$lim_(nto+infty) ((n^3+3n)/(n^3+n^2-2))^n$

$lim_(nto+infty) (1+(n^3+3n)/(n^3+n^2-2)-1)^n$

$lim_(nto+infty) (1+(n^3+3n-n^3-n^2+2)/(n^3+n^2-2))^n$

$lim_(xto+infty)(1+1/((n^3+n^2-2)/(-n^2+3n+2)))^(((n^3+n^2-2)/(-n^2+3n+2))*((-n^2+3n+2)/(n^3+n^2-2))*n)$

$=e^-1<1$ la serie converge

fattibile?

[feddy]

Visto che è a termini positivi (devi specificarlo!) e soddisfa il criterio della radice, allora converge.

[lepre561]

allora due dubbi il primo era se le stime asintotiche le posso applicare solo all'esponente..
il secondo è come determino che è a termini positivi?

[feddy]

Il termine generale $a_n$ mi sembra palesemente positivo per $n \geq 1$. Inoltre nel criterio della radice io non avrei fatto nessuna "stima" per l'esponente. Avrei fatto il limite con $a_n$ così com'era e poi una qualche considerazione di quel tipo. E infatti il limite su $n$ di $(a_n)^{\frac{1}{n}}$ risulta $e^{-1}$

[feddy]

@lepre... ho visto che questa domanda era già stata risolta ieri
Vedi qui