Convergenza semplice serie numerica
Ciao a tutti!
Sto avendo problemi con il determinare la convergenza di questa serie numerica
$ sum(1/(n*(logn)^a)) $ per n maggiore uguale a 2 e a maggiore di 0.
Ho provato con il criterio della radice ma il limite viene 1 e il criterio della radice è definito solo per il limite maggiore o minore di 1.
Con il criterio del confronto asintotico mi viene che diverge, mentre a quanto ho capito dovrebbe convergere...
Chi mi sa dare una mano?
Grazie in anticipo
Sto avendo problemi con il determinare la convergenza di questa serie numerica
$ sum(1/(n*(logn)^a)) $ per n maggiore uguale a 2 e a maggiore di 0.
Ho provato con il criterio della radice ma il limite viene 1 e il criterio della radice è definito solo per il limite maggiore o minore di 1.
Con il criterio del confronto asintotico mi viene che diverge, mentre a quanto ho capito dovrebbe convergere...
Chi mi sa dare una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
La serie è a termini positivi, infatti $n (log(n))^{\alpha} > 0$ per $n > 1$, inoltre $a_n$ è decrescente, infatti:
$a_n > a_(n+1)$: $n(log(n))^{\alpha} < (n+1)(log(n+1))^{\alpha} \iff \frac{1}{n(log(n))^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)(log(n+1))^{\alpha}} \iff a_n > a_{n+1}$
Siamo nelle ipotesi del teorema di cauchy, prova ad applicarlo
Non è che è definito per limiti maggiori o minori di $1$(le ipotesi infatti richiedono che la serie sia a termini positivi), semplicemente se il limite sia $1$ allora non puoi dire nulla.
Se ti va posta i conti, così vediamo dove sbagli!
La serie è a termini positivi, infatti $n (log(n))^{\alpha} > 0$ per $n > 1$, inoltre $a_n$ è decrescente, infatti:
$a_n > a_(n+1)$: $n(log(n))^{\alpha} < (n+1)(log(n+1))^{\alpha} \iff \frac{1}{n(log(n))^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)(log(n+1))^{\alpha}} \iff a_n > a_{n+1}$
Siamo nelle ipotesi del teorema di cauchy, prova ad applicarlo
Ho provato con il criterio della radice ma il limite viene 1 e il criterio della radice è definito solo per il limite maggiore o minore di 1.
Non è che è definito per limiti maggiori o minori di $1$(le ipotesi infatti richiedono che la serie sia a termini positivi), semplicemente se il limite sia $1$ allora non puoi dire nulla.
Con il criterio del confronto asintotico mi viene che diverge, mentre a quanto ho capito dovrebbe convergere...
Se ti va posta i conti, così vediamo dove sbagli!
Innanzitutto la condizione necessaria é soddisfatta.
Per studiarne la convergenza con il criterio del confronto asintotico scelgo una serie bn che converge, ho scelto 1/n^(2) ma non ottengo nulla in quanto il limite del rapporto tra le due successioni diverge e non posso concludere nulla.
Ho provato anche con il teorema dell'integrale poiché, come hai notato, si tratta di una successione continua e decrescente ma anche il questo caso l'integrale improprio mi viene che diverge.
Dopo questi tentativi devo dedurre che diverge?
Ho pensato anche semplicemente al fatto che il termine generale è asintotico a 1/n , che diverge..
Per studiarne la convergenza con il criterio del confronto asintotico scelgo una serie bn che converge, ho scelto 1/n^(2) ma non ottengo nulla in quanto il limite del rapporto tra le due successioni diverge e non posso concludere nulla.
Ho provato anche con il teorema dell'integrale poiché, come hai notato, si tratta di una successione continua e decrescente ma anche il questo caso l'integrale improprio mi viene che diverge.
Dopo questi tentativi devo dedurre che diverge?
Ho pensato anche semplicemente al fatto che il termine generale è asintotico a 1/n , che diverge..
"Planets":
Innanzitutto la condizione necessaria é soddisfatta.
Per studiarne la convergenza con il criterio del confronto asintotico scelgo una serie bn che converge, ho scelto 1/n^(2) ma non ottengo nulla in quanto il limite del rapporto tra le due successioni diverge e non posso concludere nulla.
Ho provato anche con il teorema dell'integrale poiché, come hai notato, si tratta di una successione continua e decrescente ma anche il questo caso l'integrale improprio mi viene che diverge.
Dopo questi tentativi devo dedurre che diverge?
Ho pensato anche semplicemente al fatto che il termine generale è asintotico a 1/n , che diverge..
Che strano, l'integrale dovrebbe convergere(per determinati valori di $\alpha$)!
Come calcoli $\int_{2}^{\+infty} \frac{1}{x(logx)^{\alpha}}dx$?
Ho risolto con il criterio del rapporto!
Così facendo il limite converge a 1 quindi la successione converge per ogni a>0.
Per quanto riguarda l'integrale, si tratta di un integrale improprio quindi spezzò l'integrale in due con estremi, ad esempio 2-3 e 3-infinito, giusto?
Così facendo il limite converge a 1 quindi la successione converge per ogni a>0.
Per quanto riguarda l'integrale, si tratta di un integrale improprio quindi spezzò l'integrale in due con estremi, ad esempio 2-3 e 3-infinito, giusto?
il risultato trovato è sbagliato. in realtà l'esercizio lo si poteva risolvere in un passaggio. la tua serie era una di quelle importanti che sono già state classificate. si chiama serie armonica modificata.
\( {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{{n^{\alpha }}{\log ^{\beta }{n}}}}{\begin{cases}{\text{converge}}&\alpha >1\lor \alpha =1\wedge \beta >1\\+\infty &\alpha <1\lor \alpha =1\wedge \beta \leq 1\end{cases}}} \)
se invece questo già lo sapevi e cercavi una dimostrazione puoi dimostrarlo con il criterio di condensazione.
l'integrale converge in con lo stesso criterio di questa serie. se sei interessato posso mostrarti la dimostrazione.
\( {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{{n^{\alpha }}{\log ^{\beta }{n}}}}{\begin{cases}{\text{converge}}&\alpha >1\lor \alpha =1\wedge \beta >1\\+\infty &\alpha <1\lor \alpha =1\wedge \beta \leq 1\end{cases}}} \)
se invece questo già lo sapevi e cercavi una dimostrazione puoi dimostrarlo con il criterio di condensazione.
l'integrale converge in con lo stesso criterio di questa serie. se sei interessato posso mostrarti la dimostrazione.
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