Convergenza Semplice ed Assoluta di una serie!
So di aver postato già qualche volta quesiti sulle serie ma non riesco proprio a riuscire a capire bene alcuni punti dell'argomento..
1) Questo è un esercizio che ho fatto ma del quale non sono molto sicuro...
Ve lo posto così, se potete, ci date un occhiata:
$sum_(k=1)^(+oo)(-1)^k((1+1/k)^k-e)$
Per prima cosa studio l'assoluta convergenza. Considero la serie $sum_(k=1)^(+oo)((1+1/k)^k-e)$. La serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza infatti $lim_(kto+oo)((1+1/k)^k-e)=e-e=0$. Per studiare la convergenza considero il termine k-esimo della serie
$((1+1/k)^k-e) = e^(k*log(1+1/k))-e ~~ e^(k*(1/k-1/(2k^2)))-e = e^(1-1/(2k))-e = e(1/e^(1/(2k))-1) ~~ e(-2k-1) ~~ k$ per $kto+oo$, cioè l'ordine di infinitesimo della funzione rispetto ad $1/x$ è $-1$ quindi la serie non converge assolutamente.
Sperando che fino a qua sia giusto passo allo studio della Semplice convergenza.
Provo ad applicare il criterio di Leibniz: il limite $lim_(kto+oo)a_k=0$ come so verificato sopra. Ora devo verificare che la successione sia decrescente. Io qui ho fatto in questo modo, del quale non sono molto sicuro... :
la successione $((1+1/k)^k-e)$ può essere riscritta così $e^(k*log(1+1/k))-e$ ed ora studio la decrescenza col teorema di composizione di funzioni monotone. So che $1/k$ è strettamente decrescente in $[1,+oo[$. Il $log$ è stret. crescente in tutto il suo dominio quindi $log(1+1/k)$ è stret. decrescente in $[1,+oo[$. Ora, $e^k$ è stret. crescente $AA x in RR$ quindi la successione $e^(k*log(1+1/k))-e$ è stret. decrescente tra $[1,+oo[$. Perciò la serie converge semplicemente.
2) Questo è solo una richiesta di chiarimento sul metodo che ho usato anche nell'esempio prec per verificare la decrescenza di una successione(so che potrei usare anche le derivate, oppure lo svolgimento algebrico diretto, ma mi interesserebbe questo per ora). C'è un esempio in cui ho provato a fare queste considerazioni, che si sono poi rivelate errate.
Devo studiare come sopra l'assoluta e la semplice conv di una serie.
$sum_(k=1)^(+oo)arctan(k^2-8)/sqrtk$
Ho visto che non è ass. conv e ho provato anche qui Leibniz. Quando dovevo provare la decrescenza volevo fare così: vedo che per $k>0$ $k^2-8$ è stret. cresc. L'$arctan$ è sempre strett. cresc. quindi $arctan(k^2-8)$ strett. cresc. in $[0,+oo[$. Quindi la successione è un rapporto tra una successione crescente ($arctan(k^2-8)$) ed un'altra crescente ($sqrtk$) quindi, dico io, è crescente quindi Leibnitz non è applicabile. Invece non è così, e vorrei saperne il perchè. Grazie
So di aver scritto anche troppo, ma voglio capire se e dove sbaglio.
edit:Leibniz modificato
1) Questo è un esercizio che ho fatto ma del quale non sono molto sicuro...
Ve lo posto così, se potete, ci date un occhiata:
$sum_(k=1)^(+oo)(-1)^k((1+1/k)^k-e)$
Per prima cosa studio l'assoluta convergenza. Considero la serie $sum_(k=1)^(+oo)((1+1/k)^k-e)$. La serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza infatti $lim_(kto+oo)((1+1/k)^k-e)=e-e=0$. Per studiare la convergenza considero il termine k-esimo della serie
$((1+1/k)^k-e) = e^(k*log(1+1/k))-e ~~ e^(k*(1/k-1/(2k^2)))-e = e^(1-1/(2k))-e = e(1/e^(1/(2k))-1) ~~ e(-2k-1) ~~ k$ per $kto+oo$, cioè l'ordine di infinitesimo della funzione rispetto ad $1/x$ è $-1$ quindi la serie non converge assolutamente.
Sperando che fino a qua sia giusto passo allo studio della Semplice convergenza.
Provo ad applicare il criterio di Leibniz: il limite $lim_(kto+oo)a_k=0$ come so verificato sopra. Ora devo verificare che la successione sia decrescente. Io qui ho fatto in questo modo, del quale non sono molto sicuro... :
la successione $((1+1/k)^k-e)$ può essere riscritta così $e^(k*log(1+1/k))-e$ ed ora studio la decrescenza col teorema di composizione di funzioni monotone. So che $1/k$ è strettamente decrescente in $[1,+oo[$. Il $log$ è stret. crescente in tutto il suo dominio quindi $log(1+1/k)$ è stret. decrescente in $[1,+oo[$. Ora, $e^k$ è stret. crescente $AA x in RR$ quindi la successione $e^(k*log(1+1/k))-e$ è stret. decrescente tra $[1,+oo[$. Perciò la serie converge semplicemente.
2) Questo è solo una richiesta di chiarimento sul metodo che ho usato anche nell'esempio prec per verificare la decrescenza di una successione(so che potrei usare anche le derivate, oppure lo svolgimento algebrico diretto, ma mi interesserebbe questo per ora). C'è un esempio in cui ho provato a fare queste considerazioni, che si sono poi rivelate errate.
Devo studiare come sopra l'assoluta e la semplice conv di una serie.
$sum_(k=1)^(+oo)arctan(k^2-8)/sqrtk$
Ho visto che non è ass. conv e ho provato anche qui Leibniz. Quando dovevo provare la decrescenza volevo fare così: vedo che per $k>0$ $k^2-8$ è stret. cresc. L'$arctan$ è sempre strett. cresc. quindi $arctan(k^2-8)$ strett. cresc. in $[0,+oo[$. Quindi la successione è un rapporto tra una successione crescente ($arctan(k^2-8)$) ed un'altra crescente ($sqrtk$) quindi, dico io, è crescente quindi Leibnitz non è applicabile. Invece non è così, e vorrei saperne il perchè. Grazie
So di aver scritto anche troppo, ma voglio capire se e dove sbaglio.
edit:Leibniz modificato
Risposte
precisazione importante: Leibniz 
Forse ho scritto troppo comunque, a parte il problema della convergenza, mi interesserebbe chiarire il problema del calcolo della decrescenza della funzione. Ve lo chiedo perchè stamattina il prof ha proposto un esercizio analogo a quelli che ho postato sopra, e arrivati al punto di verificare se la successione $a_n=(3-alpha/n)/n^(alpha^2)$, con $alpha>0$, era decrescente o meno, ha deciso passare alla funzione associata e di fare la derivata perchè, ha detto, "non si può vedere" tramite il teorema della crescenza\decrescenza di funzioni monotone. Ha detto che se $alpha>0$, $(3-alpha/n)$ è crescente ed anche che $n^(alpha^2)$ è crescente, e questo lo capisco . Io però a questo punto avrei concluso che la funzione è crescente, e non avrei applicato perciò Leibniz, sbagliando. Ma non capisco perchè sbagliavo...
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto... Ciao
. Io però a questo punto avrei concluso che la funzione è crescente, e non avrei applicato perciò Leibniz, sbagliando. Ma non capisco perchè sbagliavo...Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto... Ciao
Nessuno mi sa dare una dritta su questo?
Grazie
Grazie
"Dust":
Forse ho scritto troppo comunque, a parte il problema della convergenza, mi interesserebbe chiarire il problema del calcolo della decrescenza della funzione. Ve lo chiedo perchè stamattina il prof ha proposto un esercizio analogo a quelli che ho postato sopra, e arrivati al punto di verificare se la successione $a_n=(3-alpha/n)/n^(alpha^2)$, con $alpha>0$, era decrescente o meno, ha deciso passare alla funzione associata e di fare la derivata perchè, ha detto, "non si può vedere" tramite il teorema della crescenza\decrescenza di funzioni monotone.
quello che dici non è coerente. Puoi verificare?
"Dust":
Ha detto che se $alpha>0$, $(3-alpha/n)$ è crescente ed anche che $n^(alpha^2)$ è crescente, e questo lo capisco
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto... Ciao
il quoziente di due soccessioni crescenti non è detto che sia crescente. Prova a fare un esempio...
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"]Ha detto che se $alpha>0$, $(3-alpha/n)$ è crescente ed anche che $n^(alpha^2)$ è crescente, e questo lo capisco
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto... Ciao
il quoziente di due successioni crescenti non è detto che sia crescente. Prova a fare un esempio...[/quote]
Ah... Forse era questo che non mi tornava... Il prodotto invece lo è?
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"]Forse ho scritto troppo comunque, a parte il problema della convergenza, mi interesserebbe chiarire il problema del calcolo della decrescenza della funzione. Ve lo chiedo perchè stamattina il prof ha proposto un esercizio analogo a quelli che ho postato sopra, e arrivati al punto di verificare se la successione $a_n=(3-alpha/n)/n^(alpha^2)$, con $alpha>0$, era decrescente o meno, ha deciso passare alla funzione associata e di fare la derivata perchè, ha detto, "non si può vedere" tramite il teorema della crescenza\decrescenza di funzioni monotone.
quello che dici non è coerente. Puoi verificare?
[/quote]
Intendevo dire che è passato a studiare la derivata per verificare la decrescenza..
"Dust":
[quote="Fioravante Patrone"]
il quoziente di due successioni crescenti non è detto che sia crescente. Prova a fare un esempio...
Ah... Forse era questo che non mi tornava... Il prodotto invece lo è?[/quote]
non hai fatto l'esempio
ma essendo io infinitamente buono
, vediamo con il prodotto...ho $a_n$ e $b_n$ strettamente crescenti
cioè $a_n < a_{n+1}$ e $b_n < b_{n+1}$ (per ogni $n$, non lo ripeterò più...).
Sarà $a_n \cdot b_n < a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ ?
L'idea potrebbe essere:
$a_n < a_{n+1}$ implica $a_n \cdot b_n< a_{n+1} \cdot b_n$
$b_n < b_{n+1}$ implica $a_{n+1} \cdot b_n< a_{n+1} \cdot b_{n+1}$
poi usare la proprietà transitiva
ma lascio a te
dire sotto quali condizioni valgono i due "implica" sopra scritti
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"][quote="Fioravante Patrone"]
il quoziente di due successioni crescenti non è detto che sia crescente. Prova a fare un esempio...
Ah... Forse era questo che non mi tornava... Il prodotto invece lo è?[/quote]
non hai fatto l'esempio
ma essendo io infinitamente buono
, vediamo con il prodotto...ho $a_n$ e $b_n$ strettamente crescenti
cioè $a_n < a_{n+1}$ e $b_n < b_{n+1}$ (per ogni $n$, non lo ripeterò più...).
Sarà $a_n \cdot b_n < a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ ?
L'idea potrebbe essere:
$a_n < a_{n+1}$ implica $a_n \cdot b_n< a_{n+1} \cdot b_n$
$b_n < b_{n+1}$ implica $a_{n+1} \cdot b_n< a_{n+1} \cdot b_{n+1}$
poi usare la proprietà transitiva
ma lascio a te
dire sotto quali condizioni valgono i due "implica" sopra scritti[/quote]Un'esempio potrebbe essere $f(n)=arctan(n)$ e $g(x)=x$ entrambi strettamente crescenti in $[0,+oo[$ ma $f(x)/g(x)$ è strettamente decrescente in $[0,+oo[$...
Comunque, il motivo per cui te l'avevo chiesto(il fatto che il quoziente di funz decrescenti potesse essere decrescente) è perchè mi ricordo di un teorema che dice che se ho $g(x)$ ed $f(x)$ con
-$g(x)$ crecente e $f(x)$ decrescente: la composizione g(f(x)) è una funzione decrescente
e così via con analogia alla regola dei segni("crescente x crescente = crescente", "decrescente * decrescente = crescente") ecc..(so che non c'è nulla di rigoroso nel pseudo-enunciato che ho scritto, ma spero che capiate lo stesso...
)
"Dust":
Un'esempio potrebbe essere $f(n)=arctan(n)$ e $g(x)=x$ entrambi strettamente crescenti in $[0,+oo[$ ma $f(x)/g(x)$ è strettamente decrescente in $[0,+oo[$...
ma questa è pura cattiveria! Mi vuoi far passare la domenica a fare calcoli?
Che ne diresti di: $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$?
$f(x)/g(x) = 1/x$
Mi sembra più facile
NB: il mio esempio vale su $]0,+oo[$
come il tuo, d'altronde! Anche se tu affermi che vale su $[0,+oo[$, ciò non è vero
Se per qualche ragione metafisica volessi un esempio proprio su $[0,+oo[$, basterebbe "fare una traslazione":
ad esempio $f(x)=x+1$ e $g(x)=(x+1)^2$...
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"]
Un'esempio potrebbe essere $f(n)=arctan(n)$ e $g(x)=x$ entrambi strettamente crescenti in $[0,+oo[$ ma $f(x)/g(x)$ è strettamente decrescente in $[0,+oo[$...
ma questa è pura cattiveria! Mi vuoi far passare la domenica a fare calcoli?[/quote]
Il fatto è che l'avevo sottomano, visto che l'ho studiata un po' di tempo fa...
Che ne diresti di: $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$?
$f(x)/g(x) = 1/x$
Mi sembra più facile
NB: il mio esempio vale su $]0,+oo[$
come il tuo, d'altronde! Anche se tu affermi che vale su $[0,+oo[$, ciò non è vero
Se per qualche ragione metafisica volessi un esempio proprio su $[0,+oo[$, basterebbe "fare una traslazione":
ad esempio $f(x)=x+1$ e $g(x)=(x+1)^2$...
Intendi che ho sbagliato la parentesi perchè lo $0$ non è compreso? Perchè io ho provato a studiare $arctan(x)/x$ e cresce da $]-oo,0[$ mentre decresce da $]0,+oo[$
"Dust":
Intendi che ho sbagliato la parentesi perchè lo $0$ non è compreso?
yes
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