Convergenza semplice e assoluta. Serie numerica. Aiuto
Ciao a tutti, ho difficoltà con questo esercizio, non so se la mia risoluzione è corretta. Verificate per favore, e se ci dovesse essere qualche errore ditemi che cerco di rimediare subito. GRAZIE IN ANTICIPO!
Sia \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) una serie a termini strettamente positivi e divergente. Che cosa si può dire del carattere semplice e assoluto della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n a_n}{1+(a_n)^2} \)?
questo esercizio l'ho svolto così:
per prima cosa per il carattere semplice ho fatto uso del Criterio di Leibniz e infatti tutte le ipotesi sono verificate
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{1+(a_n)^2}\sim \frac{1}{a_n}\rightarrow0 \)
va bé è positiva l'ho dice già dal testo, bisogna solo verificare che è DECRESCENTE, anche questo è verificato e l'ho dimostrato come segue
\(\displaystyle \frac{a_n}{1+(a_n)^2}>\frac{a_{n+1}}{1+(a_{n+1})^2}\rightarrow \frac{\frac{a_n}{1+(a_n)^2}}{\frac{a_{n+1}}{1+(a_{n+1})^2}}>1\rightarrow\frac{a_n}{1+(a_n)^2}\cdot\frac{1+(a_{n+1})^2}{a_{n+1}}>1 \) arrivato a questo punto non so più come proseguire, ma si vede chiaramente che quel prodotto è maggiore di 1
per cui CONVERGE SEMPLICEMENTE PER LEIBNIZ
INVECE PER IL CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA, questa serie non converge!
\(\displaystyle |a_n|\sim\frac{1}{a_n} \) e siccome \(\displaystyle a_n \) è strettamente positiva e divergente, con il criterio della convergenza assoluta non converge, basta questo esempio
\(\displaystyle a_n=n\rightarrow \frac{n}{1+n^2}\sim\frac{1}{n} \) e la serie NON converge!
DITEMI SE LA RISOLUZIONE DI TUTTO È ESATTA, E AIUTATEMI CON IL CRITERIO DI LEIBNIZ. PER FAVORE! GRAZIE IN ANTICIPO!
Sia \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) una serie a termini strettamente positivi e divergente. Che cosa si può dire del carattere semplice e assoluto della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n a_n}{1+(a_n)^2} \)?
questo esercizio l'ho svolto così:
per prima cosa per il carattere semplice ho fatto uso del Criterio di Leibniz e infatti tutte le ipotesi sono verificate
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{1+(a_n)^2}\sim \frac{1}{a_n}\rightarrow0 \)
va bé è positiva l'ho dice già dal testo, bisogna solo verificare che è DECRESCENTE, anche questo è verificato e l'ho dimostrato come segue
\(\displaystyle \frac{a_n}{1+(a_n)^2}>\frac{a_{n+1}}{1+(a_{n+1})^2}\rightarrow \frac{\frac{a_n}{1+(a_n)^2}}{\frac{a_{n+1}}{1+(a_{n+1})^2}}>1\rightarrow\frac{a_n}{1+(a_n)^2}\cdot\frac{1+(a_{n+1})^2}{a_{n+1}}>1 \) arrivato a questo punto non so più come proseguire, ma si vede chiaramente che quel prodotto è maggiore di 1
per cui CONVERGE SEMPLICEMENTE PER LEIBNIZ
INVECE PER IL CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA, questa serie non converge!
\(\displaystyle |a_n|\sim\frac{1}{a_n} \) e siccome \(\displaystyle a_n \) è strettamente positiva e divergente, con il criterio della convergenza assoluta non converge, basta questo esempio
\(\displaystyle a_n=n\rightarrow \frac{n}{1+n^2}\sim\frac{1}{n} \) e la serie NON converge!
DITEMI SE LA RISOLUZIONE DI TUTTO È ESATTA, E AIUTATEMI CON IL CRITERIO DI LEIBNIZ. PER FAVORE! GRAZIE IN ANTICIPO!
Risposte
Direi che in generale non puoi dire niente.
Se prendi \(a_n=1\) per ogni \(n\) vedi che la serie proposta ha termine generale \(\sum_n (-1)^n \frac{1}{2}\), dunque non converge nemmeno semplicemente.
Se prendi \(a_n = n^2\) vedi che la serie converge assolutamente.
Se prendi \(a_n = \frac{1}{n}\) vedi che la serie non converge assolutamente ma converge semplicemente (per il criterio di Leibnitz).
Se prendi \(a_n=1\) per ogni \(n\) vedi che la serie proposta ha termine generale \(\sum_n (-1)^n \frac{1}{2}\), dunque non converge nemmeno semplicemente.
Se prendi \(a_n = n^2\) vedi che la serie converge assolutamente.
Se prendi \(a_n = \frac{1}{n}\) vedi che la serie non converge assolutamente ma converge semplicemente (per il criterio di Leibnitz).
ah ok grazie! 
non ci avevo pensato di dividere in casi.. 
grazie!
non ci avevo pensato di dividere in casi.. grazie!
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