Convergenza semplice e assoluta della serie numerica

[Franzis1]

Salve vorrei avere una conferma sullo svolgimento di questo esercizio:

Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica

$sum_(n = 1)(-1)^(n-1)*n/(1+n^2)$

Per la convergenza assoluta, considero il valore assoluto del termine generale e utilizzando il criterio del confronto asintotico ho $|n/(1+n^2)|$ ~ $1/n$ che diverge positivamente. Perciò non posso concludere nulla sulla serie di partenza.

Per la convergenza semplice provo ad utilizzare il criterio di Leibniz. Posto $an = n/(1+n^2)$ si vede subito che $an >= 0$ e $an -> 0$ resta da dimostrare che $an$ è decrescente.

Ho risolto calcolando la derivata di $an$ che è uguale a $(1 - n^2)/(n^2 + 1)^2$ e risulta essere decrescente per $n >= 1$.
Perciò concludo che la serie converge per il criterio di Leibniz.

E' giusto questo procedimento? vorrei avere una conferma soprattutto per quanto riguarda il calcolo della derivata per verificare la descrescenza,grazie

[girdav]

Salve, mi sembra tutto giusto.
Quando calcoli la derivata hai preso quella di $f$ definita da $f(x) =\frac{x}{1+x^2}$. $f$ è decrescente : $a_{n+1}=f(n+1)\leq f(n)=a_n$.