Convergenza semplice e assoluta
Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie
$\sum_{n=1}^+∞ (e^(−1/(2n)) −cos(1/sqrt(n)))$
non riesco a capire il metodo da utilizzare..so che non posso usare leibniz perchè non è una serie a segno variabile..e se utilizzassi il confronto asintotico,come dovrei fare?
$\sum_{n=1}^+∞ (e^(−1/(2n)) −cos(1/sqrt(n)))$
non riesco a capire il metodo da utilizzare..so che non posso usare leibniz perchè non è una serie a segno variabile..e se utilizzassi il confronto asintotico,come dovrei fare?
Risposte
Prova a scrivere a cosa è asintotico il termine generale della serie quando $n \to \infty$...
dovrebbe essere $1-1/(2n) +1/(8(n)^2) -1+1/(2n)$
giusto?
giusto?
C'è qualche errore:
$e^{\frac{1}{2n}} = 1 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^2} + o(\frac{1}{n^2}) $
$\cos(\frac{1}{\sqrt{n}}) = 1 - \frac{1}{2n} +\frac{1}{24n^2} + o(\frac{1}{n^2})$
Dunque in tutto (chiamando $a_n$ il termine generale della tua serie), per $n \to \infty$ abbiamo:
$$a_n \sim \frac{1}{12n^2}$$
Cosa puoi concludere?
$e^{\frac{1}{2n}} = 1 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^2} + o(\frac{1}{n^2}) $
$\cos(\frac{1}{\sqrt{n}}) = 1 - \frac{1}{2n} +\frac{1}{24n^2} + o(\frac{1}{n^2})$
Dunque in tutto (chiamando $a_n$ il termine generale della tua serie), per $n \to \infty$ abbiamo:
$$a_n \sim \frac{1}{12n^2}$$
Cosa puoi concludere?
la serie è convergente..
grazie
ma per quanto riguarda la convergenza assoluta?
grazie
ma per quanto riguarda la convergenza assoluta?
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