Convergenza semplice-assoluta di serie numeriche con coseno
Sono in difficoltà nello studio della convergenza semplice e assoluta di serie che contengono funzioni goniometriche
1. $\sum\frac{n^3}{7^n}cos (sqrt(n))$
2. $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$
3. $\sum\frac{cos(n^3)}{n^3}$
4. $\sum cos(\frac{1}{n})$
accetto suggerimenti
[xdom="Gugo82"]So che è il tuo primo post, però questo non è modo di porre problemi all'attenzione degli utenti.
Ti consiglio di dare un'occhiata al regolamento ed anche una qui.
Per adesso non chiudo il thread: ti lascio un po' di tempo per aggiungere le tue proposte di soluzione.[/xdom]
1. $\sum\frac{n^3}{7^n}cos (sqrt(n))$
2. $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$
3. $\sum\frac{cos(n^3)}{n^3}$
4. $\sum cos(\frac{1}{n})$
accetto suggerimenti
[xdom="Gugo82"]So che è il tuo primo post, però questo non è modo di porre problemi all'attenzione degli utenti.
Ti consiglio di dare un'occhiata al regolamento ed anche una qui.
Per adesso non chiudo il thread: ti lascio un po' di tempo per aggiungere le tue proposte di soluzione.[/xdom]
Risposte
[quote=Gugo82][/quote]
Chiedo scusa ai moderatori ma sono stato precipitoso nello scrivere il messaggio!!!
... ecco quello che avevo pensato io per queste serie
1. $\sum\frac{n^3}{7^n}cos (sqrt(n))$
ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma il limite non esiste, che significa, che la serie non converge??? o devo trovare un'altra strada???
2. $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$
questa dovrebbe convergere perchè è a segni alterni e $\lim_{n \to \infty} \frac{cos (sqrt(n))}{n}$ = 0
3. $\sum\frac{cos(n^3)}{n^3}$
anche qui applicando il criterio del rapporto , non esiste il limite, quindi vedi domanda al punto uno
4. $\sum cos(\frac{1}{n})$
allora questa non dovrebbe convergere perchè il $\lim_{n \to \infty}$ vale 1 e non 0
Dove sbaglio???? Per la convergenza ASSOLUTA non so dove mettere le mani!
Chiedo scusa ai moderatori ma sono stato precipitoso nello scrivere il messaggio!!!
... ecco quello che avevo pensato io per queste serie
1. $\sum\frac{n^3}{7^n}cos (sqrt(n))$
ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma il limite non esiste, che significa, che la serie non converge??? o devo trovare un'altra strada???
2. $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$
questa dovrebbe convergere perchè è a segni alterni e $\lim_{n \to \infty} \frac{cos (sqrt(n))}{n}$ = 0
3. $\sum\frac{cos(n^3)}{n^3}$
anche qui applicando il criterio del rapporto , non esiste il limite, quindi vedi domanda al punto uno
4. $\sum cos(\frac{1}{n})$
allora questa non dovrebbe convergere perchè il $\lim_{n \to \infty}$ vale 1 e non 0
Dove sbaglio???? Per la convergenza ASSOLUTA non so dove mettere le mani!
-la prima converge perchè è infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di 1/n per n->oo(criterio dell'ordine di infinitesimo)
-alla seconda non puoi applicare Leibniz perchè cmq $(cos(sqrt(n)))/n$ non è decrescente da un certo n in poi...puoi invece applicare il criterio di Dirichlet: $sum_(n=1)^(oo)(-1)^n$ è limitata, cosiccome $sum_(n=1)^(oo)cos(sqrt(n))$; quindi anche $sum_(n=1)^(oo)(-1)^n cos(sqrt(n)) $ è limitata perchè prodotto di due termini la cui serie è limitata; inoltre $(1/n)_(n->oo) ->0$ ed è decrescente per ogni n>1, quindi per il criterio di Dirichlet la serie $sum_(n=1)^(oo) (-1)^n(cos(sqrt(n)))/n$ converge;
-la terza converge per il criterio del confronto: $sum_(n=1)^(oo)-1/n^3 < sum_(n=1)^(oo) cos(n^3)/n^3 < sum_(n=1)^(oo) 1/n^3 $, la tua serie è compresa tra due il cui argomento è di ordine di infinitesimo 3 quindi convergenti, pertanto converge;
-la quarta non converge perchè manca la condizione necessario, come notato da te.
-alla seconda non puoi applicare Leibniz perchè cmq $(cos(sqrt(n)))/n$ non è decrescente da un certo n in poi...puoi invece applicare il criterio di Dirichlet: $sum_(n=1)^(oo)(-1)^n$ è limitata, cosiccome $sum_(n=1)^(oo)cos(sqrt(n))$; quindi anche $sum_(n=1)^(oo)(-1)^n cos(sqrt(n)) $ è limitata perchè prodotto di due termini la cui serie è limitata; inoltre $(1/n)_(n->oo) ->0$ ed è decrescente per ogni n>1, quindi per il criterio di Dirichlet la serie $sum_(n=1)^(oo) (-1)^n(cos(sqrt(n)))/n$ converge;
-la terza converge per il criterio del confronto: $sum_(n=1)^(oo)-1/n^3 < sum_(n=1)^(oo) cos(n^3)/n^3 < sum_(n=1)^(oo) 1/n^3 $, la tua serie è compresa tra due il cui argomento è di ordine di infinitesimo 3 quindi convergenti, pertanto converge;
-la quarta non converge perchè manca la condizione necessario, come notato da te.
La convergenza della serie $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$ rimane una incognita, ci sto da due giorni e non mi viene niente.
Se qualcuno ha in mente un suggerimento, non faccia il timido
Se qualcuno ha in mente un suggerimento, non faccia il timido
Fermo. Ho detto una minchiata riguardo alla serie 2. $/sum_(n=1)^oo cos(sqrt(n))$ col cavolo che è limitata, quindi salta tutta l'applicazione del criterio di Dirichlet.
Perciò su quella serie bisognerebbe pensarci un po', anche per la convergenza semplice.
Perciò su quella serie bisognerebbe pensarci un po', anche per la convergenza semplice.
La convergenza della serie $\sum(-)^n\frac{cos (sqrt(n))}{n}$ rimane una incognita, ci sto da due giorni e non mi viene niente.
Se qualcuno ha in mente un suggerimento, non faccia il timido
Se qualcuno ha in mente un suggerimento, non faccia il timido
potrebbe essere che si risolva per il criterio del confronto in quanto la serie da te data è minore di $\sum1/n$ che non converge e quindi non converge nemmeno il tuo integrale di partenza
Se è minore di una serie divergente non significa che diverga...colgo l'occasione, se permettete, di tenere su questa discussione perchè mi interessa molto questa serie proposta dall'amico qui presente, e credo che qua sicuramente c'è qualcuno che sa dirci qualcosa...
La serie $\sum (-1)^n (cos \sqrt(n))/n$ (che non è a segni alterni!!!) è abbastanza rognosa, poiché non è né maggiorabile in modulo con una serie convergente, né minorabile con una serie divergente in maniera semplice (questo dipende dal fatto che l'insieme $\{cos\sqrt(n)\}_(n\in NN)$ è denso in $[-1,1]$).
Ci si dovrebbe pensare un po'...
Ci si dovrebbe pensare un po'...
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