Convergenza Seire

[llobertx]

Ho un problema sul calcolo della convergenza di una serie, l'ho calcolata con criterio del rapporto e mi torna 1 quindi non ho elementi per determinarne la convergenza, poi ho provato col confronto asintotico e mi viene infinito quindi non convergente, ma sul libro dovrebbe convergere sbaglio qualcosa ??? La serie è la seguente(sperando di non averla scritta male) :

[math]sum_{n=1}^\infty\frac{sqrt{n+1}-sqrt{n-1}}{n}[/math]

[ciampax]

Il termine generale può essere scritto come

[math]a_n=\frac{sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}=\frac{n+1-n+1}{n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}=\frac{2}{n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}[/math]

A questo punto, cambiando

[math]n=m+1[/math]

si ha

[math]a_{m+1}=\frac{2}{(m+1)(\sqrt{m+2}+\sqrt{m})}[/math]

e osservando che

[math]m+1>m,\ \sqrt{m+2}>\sqrt{m}[/math]

si ricava

[math]a_{m+1}1[/math]

che converge, per cui converge anche la serie da te proposta.