Convergenza quasi ovunque

[maikkk1]

Ciao a tutti! ho tra le mani un esercizio che mi richiede in maniera esplicita di usare i teoremi di convergenza classici dell'integrazione secondo Lebesgue ma non riesco a ricondurmici. Chiedo, per cortesia, anche una semplice dritta a riguardo. Ecco il testo:

Sia $q: NNrarrQQnn[0, 1]$ un'indicizzazione dei razionali (quindi biettiva). Mostrare che $\sum_{k=0}^oo e^(-k)/sqrt(abs(x-q_k)$ converge quasi per ogni $x in(0,1)$

Ho pensato in particolare che si potesse usare il teorema di convergenza monotona, ma non saprei come.
Grazie in anticipo!

[javicemarpe]

Maybe you have to integrate the sum in (0,1). If the integral is convergent, then the integrand is finite almost everywhere, which would give you the desired result.

[maikkk1]

Oh, sure! Got the hint! Thank you so much!

[maikkk1]

I write down what I've done. Please, let me know if it makes sense or not. At least we can make the post usefull.

Remark:

1. Consider $f_k(x) := e^(-k)/sqrt(abs(x-q_k))$;
2. $f_k(x)>0 AA x in(0,1)-QQ$;
3. $f_k$ continuous $AAx in(0,1)-QQ rArr f_k$ measurable $AAx in(0,1)-QQ$
4. $L^1(QQ)=0 rArr \int_([0;1]) \sum_k f_k(x)dL^1(x) = \int_((0,1)-QQ) \sum_k f_k(x)dL^1(x)$

Then I used the Beppo-Levi Theorem (monotone convergence) to get the goal.

Is it right?

[javicemarpe]

Yes, that's all. Once you interchange the integral with the sum (by monotone convergence, or by Fatou's lemma -though in this case you obtain an inequality-), the rest is only to bound uniformly $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{|x-q_k|}}$ and to sum.