Convergenza (puntuale, uniforme, totale) serie di funzioni
Buongiorno a tutti,
dovrei sostenere l'esame di Analisi Matematica 3, che ho già sostenuto 2 volte con esiti negativi, trovandomi abbastanza in difficoltà sulla convergenza, in quanto normalmente le funzioni sono molto complesse.
Oggi ho cercato di risolvere questa serie, ma non ne sono venuto a capo, e mi chiedo se potete per lo meno indirizzarmi verso una soluzione, grazie.
La funzione è:
$\sum_{n=1}^\infty (1+x)^(ln(5+n))$ con x>-1
Grazie infinite in anticipo a tutti...
dovrei sostenere l'esame di Analisi Matematica 3, che ho già sostenuto 2 volte con esiti negativi, trovandomi abbastanza in difficoltà sulla convergenza, in quanto normalmente le funzioni sono molto complesse.
Oggi ho cercato di risolvere questa serie, ma non ne sono venuto a capo, e mi chiedo se potete per lo meno indirizzarmi verso una soluzione, grazie.
La funzione è:
$\sum_{n=1}^\infty (1+x)^(ln(5+n))$ con x>-1
Grazie infinite in anticipo a tutti...
Risposte
Beh, comincia a dirci come hai provato a risolvere.
Ci sono delle considerazioni standard che sicuramente avrai cominciato a fare, no?
Ci sono delle considerazioni standard che sicuramente avrai cominciato a fare, no?
Hai ragione, il problema è che mi sono praticamente subito incastrato all'inizio.
Le mie considerazioni iniziali sono queste:
per il limite puntuale, posso subito considerare il caso -1<=x<0, affermando che per tale valore, $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a 0, no? In quanto il valore (1+x) è compreso fra 0 e 1, che elevato ad un qualsiasi valore diventa sempre più piccolo...
Nel caso x=0, invece, abbiamo che $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a 1, in quanto (1+x) è uguale ad 1, e 1 elevato ad un qualsiasi valore rimane 1.
Per x>0, invece, abbiamo un valore positivo (1+x) elevato ad un altro valore sicuramente positivo ln(5+n), e quindi $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a $\infty$.
Per quanto riguarda il limite uniforme, devo considerare sup $(f_n(x)-f_\infty(x))$, ma cosa devo considerare come $f_infty(x)$?
Ed è qui che mi sono impantanato, oltre che ad aver sicuramente sbagliato il limite puntuale...
Le mie considerazioni iniziali sono queste:
per il limite puntuale, posso subito considerare il caso -1<=x<0, affermando che per tale valore, $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a 0, no? In quanto il valore (1+x) è compreso fra 0 e 1, che elevato ad un qualsiasi valore diventa sempre più piccolo...
Nel caso x=0, invece, abbiamo che $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a 1, in quanto (1+x) è uguale ad 1, e 1 elevato ad un qualsiasi valore rimane 1.
Per x>0, invece, abbiamo un valore positivo (1+x) elevato ad un altro valore sicuramente positivo ln(5+n), e quindi $\lim_{n \to \infty} (1+x)^(ln(5+n))$ è uguale a $\infty$.
Per quanto riguarda il limite uniforme, devo considerare sup $(f_n(x)-f_\infty(x))$, ma cosa devo considerare come $f_infty(x)$?
Ed è qui che mi sono impantanato, oltre che ad aver sicuramente sbagliato il limite puntuale...
Ok allora il termine generale è infinitesimo solo per $-1
Tieni presente che stai studiando una serie di funzioni, non una successione: visto che non sei in grado né di dare un'espressione semplice alla successione delle somme parziali $\sum_(k=0)^n f_k(x)$ né di stabilire "a priori" la somma $f(x)$della serie (cosa che si può fare di rado, in verità), lo studio della successione $"sup" |f(x)-\sum_(k=0)^(n) f_k(x)|$ è praticamente impossibile.
Per questo motivo la nozione importante per lo studio delle serie di funzioni è quello di convergenza totale, non tanto quella di convergenza uniforme.
Il problema, quindi, è stabilire per quali $x\in ]-1,0[$ la convergenza della serie è totale.
A tal proposito, secondo una tecnica pressoché standard, potresti studiare la monotonia degli addendi $f_n(x):=(1+x)^(ln(n+5))$ e stabilire se essi sono (definitivamente) di massimo $M_n$ in $]-1,0]$, poi vedere se la serie numerica $\sum M_n$ è convergente: in quest'ultimo caso la serie convergerebbe totalmente in $]-1,0[$...
Però, se sei un po' smaliziato dovresti aver già capito che ciò non è possibile dallo studio che hai fatto sopra, perciò il suggerimento è provare a vedere cosa succede in intervalli del tipo $]-1,a]$ con $a\in ]-1,0[$.
Tieni presente che stai studiando una serie di funzioni, non una successione: visto che non sei in grado né di dare un'espressione semplice alla successione delle somme parziali $\sum_(k=0)^n f_k(x)$ né di stabilire "a priori" la somma $f(x)$della serie (cosa che si può fare di rado, in verità), lo studio della successione $"sup" |f(x)-\sum_(k=0)^(n) f_k(x)|$ è praticamente impossibile.
Per questo motivo la nozione importante per lo studio delle serie di funzioni è quello di convergenza totale, non tanto quella di convergenza uniforme.
Il problema, quindi, è stabilire per quali $x\in ]-1,0[$ la convergenza della serie è totale.
A tal proposito, secondo una tecnica pressoché standard, potresti studiare la monotonia degli addendi $f_n(x):=(1+x)^(ln(n+5))$ e stabilire se essi sono (definitivamente) di massimo $M_n$ in $]-1,0]$, poi vedere se la serie numerica $\sum M_n$ è convergente: in quest'ultimo caso la serie convergerebbe totalmente in $]-1,0[$...
Però, se sei un po' smaliziato dovresti aver già capito che ciò non è possibile dallo studio che hai fatto sopra, perciò il suggerimento è provare a vedere cosa succede in intervalli del tipo $]-1,a]$ con $a\in ]-1,0[$.
Grazie mille...
In realtà preferisco il primo metodo, diciamo più immediato, e soprattutto quello che ho usato di più nel mio corso.
Sei stato molto gentile, e a questo proposito volevo chiederti un'altra cosa... Posso utilizzare lo stesso topic se ho domande inerenti ad altri problemi sulla convergenza? E' un disturbo troppo grande?
Purtroppo il problema dei miei esercizi è che non sono svolti, nè ho i risultati, per cui non posso avere un confronto diretto.
Grazie infinite ancora.
In realtà preferisco il primo metodo, diciamo più immediato, e soprattutto quello che ho usato di più nel mio corso.
Sei stato molto gentile, e a questo proposito volevo chiederti un'altra cosa... Posso utilizzare lo stesso topic se ho domande inerenti ad altri problemi sulla convergenza? E' un disturbo troppo grande?
Purtroppo il problema dei miei esercizi è che non sono svolti, nè ho i risultati, per cui non posso avere un confronto diretto.
Grazie infinite ancora.
Certo che puoi, ma fai attenzione a rispettare il regolamento (che penso tu abbia già letto).
Per quanto riguarda gli esercizi, una volta apprese le tecniche standard non fossilizzarti.
Ci sono tanti esercizi che si risolvono più facilmente con aconsiderazioni elementari, piuttosto che con i metodi standard.
Per quanto riguarda gli esercizi, una volta apprese le tecniche standard non fossilizzarti.
Ci sono tanti esercizi che si risolvono più facilmente con aconsiderazioni elementari, piuttosto che con i metodi standard.
Gugo, riguardando l'esercizio, e rileggendomi anche i vari criteri di convergenza delle serie, mi chiedevo:
in quale modo posso capire se e come ricondurmi ad una serie con cui confrontare la serie data? Tu ci sei arrivato dopo vari passaggi, che a me non sarebbero mai venuti in mente, per poi concludere dicendo che avrei dovuto, per il criterio del confronto, confrontare la mia serie (rivisitata con vari "calcoli") con quella armonica generalizzata.
Probabilmente tu hai più esperienza di me, ma c'è un modo per capire intuitivamente questi passaggi che hai espresso tu?
Perchè effettivamente ci sono cose che io comprendo bene dopo che mi vengono spiegate, ma che faccio fatica a mettere in pratica quando si tratta di qualcosa di "nuovo", come una serie di diverso tipo da quella utilizzata per la spiegazione...
Insomma, per capirci, l'intuizione è SOLO questione di esperienza?
in quale modo posso capire se e come ricondurmi ad una serie con cui confrontare la serie data? Tu ci sei arrivato dopo vari passaggi, che a me non sarebbero mai venuti in mente, per poi concludere dicendo che avrei dovuto, per il criterio del confronto, confrontare la mia serie (rivisitata con vari "calcoli") con quella armonica generalizzata.
Probabilmente tu hai più esperienza di me, ma c'è un modo per capire intuitivamente questi passaggi che hai espresso tu?
Perchè effettivamente ci sono cose che io comprendo bene dopo che mi vengono spiegate, ma che faccio fatica a mettere in pratica quando si tratta di qualcosa di "nuovo", come una serie di diverso tipo da quella utilizzata per la spiegazione...
Insomma, per capirci, l'intuizione è SOLO questione di esperienza?
Per quanto riguarda l'esercizio, avevi sotto mano un addendo del tipo $[f(x)]^(g(n))$ ed era abbastanza naturale cercare di vedere a cosa si arrivava applicando la nota relazione $y^alpha=e^(alpha ln y)$.
Per la risoluzione di alcuni esercizi basta applicare le definizioni in maniera pedante; ma per altri serve anche un po' di inventiva: ovviamente, tale inventiva deriva innanzitutto dall'esperienza e dallo studio, difficilmente scaturisce "a caso" (tranne forse, in pochissimi casi, per i puri geni).
Per la risoluzione di alcuni esercizi basta applicare le definizioni in maniera pedante; ma per altri serve anche un po' di inventiva: ovviamente, tale inventiva deriva innanzitutto dall'esperienza e dallo studio, difficilmente scaturisce "a caso" (tranne forse, in pochissimi casi, per i puri geni).
Grazie per aver soddisfatto la mia curiosità 
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