Convergenza puntuale, uniforme, e serie di potenze
Buongiorno, sono alle prese con il concetto di convergenza puntuale e convergenza uniforme di successioni di funzioni. Ho già cercato sul forum ed ho trovato molti dubbi riguardo ad esercizi, ma nulla riguardo al concetto in generale.
In particolare, pur avendo capito il concetto dal punto di vista della definizione formale (quella coi limiti di successioni di funzioni), non riesco a capire se ciò corrisponde a qualcosa di "concreto" o no.
Ad esempio (anche se non ha molto a che fare) la differenza tra continuità ed uniforme continuità si esemplifica dicendo che una funzione uniformemente continua non puo "variare troppo rapidamente". Oppure se si prende un cilindretto con diametro arbitrario, e lunghezza che dipende dal solo diametro, lo si può far sempre "scorrere" lungo il grafico della funzione.
Matematicamente non vuol dire nulla, me ne rendo conto, ma per un neofita questi esempi chiariscono molto il concetto
E sempre riguardo a questo argomento, quando si dice che una serie di potenze converge ad una funzione, si intende puntualmente oppure uniformemente?
Lorenzo
In particolare, pur avendo capito il concetto dal punto di vista della definizione formale (quella coi limiti di successioni di funzioni), non riesco a capire se ciò corrisponde a qualcosa di "concreto" o no.
Ad esempio (anche se non ha molto a che fare) la differenza tra continuità ed uniforme continuità si esemplifica dicendo che una funzione uniformemente continua non puo "variare troppo rapidamente". Oppure se si prende un cilindretto con diametro arbitrario, e lunghezza che dipende dal solo diametro, lo si può far sempre "scorrere" lungo il grafico della funzione.
Matematicamente non vuol dire nulla, me ne rendo conto, ma per un neofita questi esempi chiariscono molto il concetto
E sempre riguardo a questo argomento, quando si dice che una serie di potenze converge ad una funzione, si intende puntualmente oppure uniformemente?
Lorenzo
Risposte
La convergenza unifome dipende da x oltre che da n ed è quindi più forte di quella puntuale. Quando hai la convergenza uniforme hai che la successione di funzioni $f_n (x)$ "approssima bene" la funzione $f$ (alla quale converge). Questo è quello su cui si basano i polinomi di Taylor. Quando parli di convergenza di serie di potenze, secondo me, si parla di convergenza uniforme pechè le serie di potenze vengono usate per scrivere funzioni come seno e coseno in forma polinomiale.
Intanto una spiegazione intuitiva della differenza tra convergenza uniforme e convergenza solo puntuale si può trovare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/spi ... 54018.html
Tipicamente quando si dice soltanto che una serie di funzioni "converge" è chiaro dal contesto in quale senso. Esiste una miriade di nozioni diverse di convergenza...
@matteo: Dici cose sostanzialmente giuste, ma vediamo di formalizzare:
Teorema Ogni serie di potenze converge uniformemente sui sottointervalli compatti contenuti nell'intervallo di convergenza. Ovvero, se $sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)$ ha raggio di convergenza $R>0$, allora per ogni $delta < R$ la serie converge unformemente rispetto ad $x$ in $[x_0-delta, x_0+\delta]$.
https://www.matematicamente.it/forum/spi ... 54018.html
Tipicamente quando si dice soltanto che una serie di funzioni "converge" è chiaro dal contesto in quale senso. Esiste una miriade di nozioni diverse di convergenza...
@matteo: Dici cose sostanzialmente giuste, ma vediamo di formalizzare:
Teorema Ogni serie di potenze converge uniformemente sui sottointervalli compatti contenuti nell'intervallo di convergenza. Ovvero, se $sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)$ ha raggio di convergenza $R>0$, allora per ogni $delta < R$ la serie converge unformemente rispetto ad $x$ in $[x_0-delta, x_0+\delta]$.
Scusate se rispondo con ritardo, ma ho avuto modo solo ora di visionare le risposte.
Vi ringrazio molto, finalmente ho capito bene il concetto, in particolare l'esempio mi ha chiarito molto
Se non sono indiscreto, fai per caso l'insegnante dissonance? perchè ogni volta che mi spieghi qualcosa mi sembra subito facile
Vi ringrazio molto, finalmente ho capito bene il concetto, in particolare l'esempio mi ha chiarito molto
Se non sono indiscreto, fai per caso l'insegnante dissonance? perchè ogni volta che mi spieghi qualcosa mi sembra subito facile
"anonymous_ed8f11":Caspita che bel complimento!
Se non sono indiscreto, fai per caso l'insegnante dissonance? perchè ogni volta che mi spieghi qualcosa mi sembra subito facile
No, non sono un insegnante, mi sono laureato triennale da pochi giorni e adesso sono uno studente magistrale.
Colgo l'occasione del topic già aperto per proporre un esercizio sulle serie di complessi che ho provato a risolvere, con scarso successo ahimè..
$\sum_{n=0}^(+\infty) (i+2^n)/(1-i)^3n$
Il mio professore ha detto che per studiare la convergenza di una serie di complessi basta studiarla come fossero due serie a termini reali ($\sum z = \sum x+i \sum y$, dove $z : =x+iy$)
Non sapendo come dividere il denominatore ho pensato di mettere tutto in coordinate polari, così l'equazione diventa:
$\sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt(2) e^(-i \pi /4))/(sqrt(1+2^(2n))e^("arctan"(1/(2n))))$
ho usato l'arctan perchè tanto il denominatore nel piano di Gauss appartiene sempre al primo quadrante.
Semplificando e riconducendomi alle serie reali:
$\sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"cos"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)+i \sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"sen"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)$
Ora, essendo le funzioni trigonometriche sempre limitate, risulta che il termine generale di entrambe le serie è infinitesimo, dunque potrebbero convergere.
Applicando il criterio della radice ottengo risultato 1, quindi non ne riesco a dedurre il comportamento
...qualcuno ha qualche consiglio da dare per caso?
$\sum_{n=0}^(+\infty) (i+2^n)/(1-i)^3n$
Il mio professore ha detto che per studiare la convergenza di una serie di complessi basta studiarla come fossero due serie a termini reali ($\sum z = \sum x+i \sum y$, dove $z : =x+iy$)
Non sapendo come dividere il denominatore ho pensato di mettere tutto in coordinate polari, così l'equazione diventa:
$\sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt(2) e^(-i \pi /4))/(sqrt(1+2^(2n))e^("arctan"(1/(2n))))$
ho usato l'arctan perchè tanto il denominatore nel piano di Gauss appartiene sempre al primo quadrante.
Semplificando e riconducendomi alle serie reali:
$\sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"cos"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)+i \sum_{n=0}^(+\infty) (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"sen"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)$
Ora, essendo le funzioni trigonometriche sempre limitate, risulta che il termine generale di entrambe le serie è infinitesimo, dunque potrebbero convergere.
Applicando il criterio della radice ottengo risultato 1, quindi non ne riesco a dedurre il comportamento
...qualcuno ha qualche consiglio da dare per caso?
ci ho pensato molto ma da solo proprio non ce la faccio a venirne fuori...nessuno riuscirebbe a dirmi almeno se fino a quì è giusto?
Una cosa che non mi è chiara: ma il termine generico è questo?
[tex]$\frac{i+2^n}{(1-i)^{3n}}$[/tex]
[tex]$\frac{i+2^n}{(1-i)^{3n}}$[/tex]
Io a dire il vero mi riferivo a questo
$\lim_{n->+\infty} (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"cos"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)=0$
$\lim_{n->+\infty} (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"sen"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)=0$
$\lim_{n->+\infty} (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"cos"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)=0$
$\lim_{n->+\infty} (sqrt((1+2^(2n))/2^(3n)))"sen"("arctan"(1/2^n)+3/4 \pi n)=0$
Io parlavo del termine generale nella serie di partenza: è come l'ho scritto io o è diverso?
hai ragione tu, devo avere sbagliato nel primo post quando l'ho scritto come formula.
La tua scrittura è quella corretta
La tua scrittura è quella corretta
Io ti consiglierei, allora, di ragionare semplicemente sulla serie dei moduli. Osserva che
[tex]$\left|\frac{i+2^n}{(1-i)^{3n}}\right|=\frac{\sqrt{1+2^{2n}}}{2^{3n/2}}$[/tex]
Applicando il criterio della radice all'ultimo termine che ho scritto, trovi che il limite per $n\to+\infty$ vale $1/\sqrt{2}$ e quindi per il criterio della radice la serie dei valori assoluti converge. Segue che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente.
[tex]$\left|\frac{i+2^n}{(1-i)^{3n}}\right|=\frac{\sqrt{1+2^{2n}}}{2^{3n/2}}$[/tex]
Applicando il criterio della radice all'ultimo termine che ho scritto, trovi che il limite per $n\to+\infty$ vale $1/\sqrt{2}$ e quindi per il criterio della radice la serie dei valori assoluti converge. Segue che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente.
wow, non sapevo ahe questo teorema valesse anche per le serie di numeri complessi Ti ringrazio molto.
Solo una cosa, quando dici che converge semplicemente, intendi puntualmente?
Ti ringrazio molto.Solo una cosa, quando dici che converge semplicemente, intendi puntualmente?
Il teorema della convergenza assoluta vale sempre e comunque, in quanto è sostanzialmente un teorema del confronto.
Per quanto riguarda la convergenza semplice, stai attento: questa non è una serie di funzioni, ma una serie numerica! La convergenza puntuale, uniforme, totale è una cosa da verificare per serie di funzioni!
Per quanto riguarda la convergenza semplice, stai attento: questa non è una serie di funzioni, ma una serie numerica! La convergenza puntuale, uniforme, totale è una cosa da verificare per serie di funzioni!
Ah già, hai ragione, mi sono confuso...
Ogni tanto faccio confusione perchè i normali criteri di convergenza li abbiamo usati anche nell'ambito delle serie di funzioni, per dimostrare la convergenza (puntuale credo)
Tutto molto più chiaro ora, molte grazie ancora
Ogni tanto faccio confusione perchè i normali criteri di convergenza li abbiamo usati anche nell'ambito delle serie di funzioni, per dimostrare la convergenza (puntuale credo)
Tutto molto più chiaro ora, molte grazie ancora
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