Convergenza puntuale-uniforme
Io ho letto questa pagina
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 045AAlSV5g
poiché stavo in cerca di pagine di teoria più chiare per capire il concetto. ma me l'ha confuso.
nella convergenza uniforme, la successione di funzioni converge alla funzione limite, ma quest'ultima non dipende dalla x, ovvero qualsiasi x scegliamo, ha il medesimo valore. è giusto oppure no?
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 045AAlSV5g
poiché stavo in cerca di pagine di teoria più chiare per capire il concetto. ma me l'ha confuso.
nella convergenza uniforme, la successione di funzioni converge alla funzione limite, ma quest'ultima non dipende dalla x, ovvero qualsiasi x scegliamo, ha il medesimo valore. è giusto oppure no?
Risposte
ciao!
non proprio. come la butti giù tu, sembra che la funzione limite debba non dipendere da $x$ nel caso di convergenza uniforme. ovvero sembra che debba essere costante. invece assolutamente no!
la differenza, in soldoni, è questa:
considera una successione di funzioni $f_n(x): RR \mapsto RR$
nel caso della convergenza puntuale, tu fissi un certo valore $\bar x$. a questo punto considera la successione $f_n(\bar x)$. questa è una successione di numeri, e non più una successione di funzioni, poiché ciascuna delle $f_n$ è valutata nel suo punto $\bar x$. perciò ne fai il limite $y = lim_{n \to +\infty} f_n(\bar x)$. Ovviamente, al variare di $\bar x$ il tuo $y$ potrebbe cambiare (ovvero $y = f(\bar x)$), perciò definisci una nuova funzione la cui variabile indipendente è $\bar x$ e i cui valori sono dati dai vari $y$. a questo punto, per mettere meglio in risalto il rapporto tra la successione iniziale e il tuo limite puntuale rinomini $\bar x = x$. perciò hai che $\forall x, f_p(x) = lim_{n \to +\infty} f_n(x)$ dove quel $\forall x$ messo così all'inizio ti evidenzia proprio il fatto che consideri $x$ "fissato".
invece, nel caso della convergenza uniforme fai una richiesta molto più forte: non chiedi che punto per punto la successione numerica $f_n(x)$ converga, ma chiedi che su tutto un intervallo l'estremo superiore della differenza tra la successione e il suo limite vada a zero. la differenza rispetto a prima è che prima fissavi $x$ e facevi il limite, qui invece fai il limite considerando $x$ variabile su un intervallo, e richiedi che la condizione per la convergenza valga uniformemente su tutto l'intervallo.
l'esempio classico è $e^{-n|x|}$ definita su tutto $RR$:
convergenza puntuale fisso un $\bar x$ e vedo che $\text{se } x \ne 0 \text{ } e^{-n|\bar x|} \to 0 \text{, invece se } \bar x = 0 \text{ } e^{-n|\bar x|} = e^0 = 1 \forall n$
perciò il limite puntuale è la funzione nulla dappertutto tranne in $0$ dove vale $1$.
convergenza uniforme in questo caso invece la condizione per la convergenza uniforme non è garantita, per cui nisba.
l'ultima cosa che resta da specificare sono i rapporti tra le due: uniforme implica sempre puntuale, mentre l'inverso non è garantito!
ciao!
non proprio. come la butti giù tu, sembra che la funzione limite debba non dipendere da $x$ nel caso di convergenza uniforme. ovvero sembra che debba essere costante. invece assolutamente no!
la differenza, in soldoni, è questa:
considera una successione di funzioni $f_n(x): RR \mapsto RR$
nel caso della convergenza puntuale, tu fissi un certo valore $\bar x$. a questo punto considera la successione $f_n(\bar x)$. questa è una successione di numeri, e non più una successione di funzioni, poiché ciascuna delle $f_n$ è valutata nel suo punto $\bar x$. perciò ne fai il limite $y = lim_{n \to +\infty} f_n(\bar x)$. Ovviamente, al variare di $\bar x$ il tuo $y$ potrebbe cambiare (ovvero $y = f(\bar x)$), perciò definisci una nuova funzione la cui variabile indipendente è $\bar x$ e i cui valori sono dati dai vari $y$. a questo punto, per mettere meglio in risalto il rapporto tra la successione iniziale e il tuo limite puntuale rinomini $\bar x = x$. perciò hai che $\forall x, f_p(x) = lim_{n \to +\infty} f_n(x)$ dove quel $\forall x$ messo così all'inizio ti evidenzia proprio il fatto che consideri $x$ "fissato".
invece, nel caso della convergenza uniforme fai una richiesta molto più forte: non chiedi che punto per punto la successione numerica $f_n(x)$ converga, ma chiedi che su tutto un intervallo l'estremo superiore della differenza tra la successione e il suo limite vada a zero. la differenza rispetto a prima è che prima fissavi $x$ e facevi il limite, qui invece fai il limite considerando $x$ variabile su un intervallo, e richiedi che la condizione per la convergenza valga uniformemente su tutto l'intervallo.
l'esempio classico è $e^{-n|x|}$ definita su tutto $RR$:
convergenza puntuale fisso un $\bar x$ e vedo che $\text{se } x \ne 0 \text{ } e^{-n|\bar x|} \to 0 \text{, invece se } \bar x = 0 \text{ } e^{-n|\bar x|} = e^0 = 1 \forall n$
perciò il limite puntuale è la funzione nulla dappertutto tranne in $0$ dove vale $1$.
convergenza uniforme in questo caso invece la condizione per la convergenza uniforme non è garantita, per cui nisba.
l'ultima cosa che resta da specificare sono i rapporti tra le due: uniforme implica sempre puntuale, mentre l'inverso non è garantito!
ciao!
http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110212002045AAlSV5g
Mamma mia che colossale pacco di stupidaggini. Consiglio: se vuoi studiare la matematica lascia perdere Yahoo! Answers. Invece rivolgiti ai tradizionali libri, scritti da autori noti e di provata attendibilità. Solo all'ultimo, se qualcosa proprio non ti torna o se vuoi approfondire, partecipa ad un forum di discussione, ma che sia serio!
"dissonance":Tipo il presente forum!
Solo all'ultimo, se qualcosa proprio non ti torna o se vuoi approfondire, partecipa ad un forum di discussione, ma che sia serio!
molto chiaro, grazie!
Vediamo se ho compreso. Praticamente nella convergenza puntuale si ha che la successione di funzione converge a quella limite, ma in modo non uniforme. Nel senso che le funzioni della successione approssimano in modo diverso la funzione limite, mentre con la convergenza uniforme non accade... o no?
Vediamo se ho compreso. Praticamente nella convergenza puntuale si ha che la successione di funzione converge a quella limite, ma in modo non uniforme. Nel senso che le funzioni della successione approssimano in modo diverso la funzione limite, mentre con la convergenza uniforme non accade... o no?
ciao!
guarda qui entriamo un po' nel filosofico e nel discorsivo, quindi in un ambito in cui non sono sicurissimo di ciò che dico. cercherò di attenermi a cose semplici così (spero) eviterò di dire castronate.
dunque credo che ciò che necessiti una chiarificazione è questo: quando si dice uniforme (soprattutto in contrasto con puntuale) si intende uniforme sull'insieme di definizione . Quello che mi hai detto nell'ultimo post quindi può essere giusto, se specificato nella maniera corretta. quando dici che
quel diverso si riferisce al dominio (alla $x$).
cioè nella convergenza puntuale, il modo in cui la successione approssima la funzione (per intenderci, l'$\epsilon$ di $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$) dipende dalla $x$ e dalla $n$.
nella convergenza uniforme, invece, l'$\epsilon$ dipende solo dalla $n$ (correggetemi se sbaglio).
Moralmente, questo è il motivo per cui la convergenza puntuale non garantisce che proprietà tipo la continuità siano mantenute.
guarda qui entriamo un po' nel filosofico e nel discorsivo, quindi in un ambito in cui non sono sicurissimo di ciò che dico. cercherò di attenermi a cose semplici così (spero) eviterò di dire castronate.
dunque credo che ciò che necessiti una chiarificazione è questo: quando si dice uniforme (soprattutto in contrasto con puntuale) si intende uniforme sull'insieme di definizione . Quello che mi hai detto nell'ultimo post quindi può essere giusto, se specificato nella maniera corretta. quando dici che
le funzioni della successione approssimano in modo diverso la funzione limite
quel diverso si riferisce al dominio (alla $x$).
cioè nella convergenza puntuale, il modo in cui la successione approssima la funzione (per intenderci, l'$\epsilon$ di $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$) dipende dalla $x$ e dalla $n$.
nella convergenza uniforme, invece, l'$\epsilon$ dipende solo dalla $n$ (correggetemi se sbaglio).
Moralmente, questo è il motivo per cui la convergenza puntuale non garantisce che proprietà tipo la continuità siano mantenute.
Sì, quel diverso era riferito al dominio. Cioè non solo dipende dalla n ma anche dalla x. Grazie
@e^itheta: Non è proprio corretto. A dipendere da $x$ non è $epsilon$, ma $nu$ (nu). Prendiamo una suscessione di funzioni $f_n: A \subset RR \to RR$ e una funzione $f:A \to RR$ e confrontiamo le definizioni di convergenza puntuale e uniforme.
- [*:2acbinjz]$f_n \to f$ puntualmente se e solo se
$forall epsilon>0, forall x \in A\ \exists nu\in NN\ "t.c."\ \forall n \ge nu\ "risulta che"\ |f_n(x)-f(x)|
$forall epsilon>0\ \exists nu\in NN\ "t.c."\ \forall n \ge nu\, forall x \in A\ "risulta che"\ |f_n(x)-f(x)|
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387861
certo hai ragione, non so come ho fatto a dire che $\epsilon$ è variabile quando invece è la prima cosa che fissi. se avessi ripetuto bene la definizione non mi sarei sbagliato!
cmq penso che il concetto fosse cmq chiaro, ti ringrazio per la precisazione!
ciao
cmq penso che il concetto fosse cmq chiaro, ti ringrazio per la precisazione!
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo