Convergenza puntuale successione di funzioni in 0
Considero l'intervallo per analizzare la convergenza $R^+$
Per $x>0$ è semplice giustificare la convergenza puntuale, infatti:
$fn(x)=(x^(2/n))/(2+nx^2)=e^(lnx^2/n)/(2+nx^2)$
Per $x=0$ come posso procedere?
Il logaritmo è definito per $x>0$ e prendendo la successione di partenza nemmeno $0^(2/n)$ per $n->+oo$è definito credo?
Per $x>0$ è semplice giustificare la convergenza puntuale, infatti:
$fn(x)=(x^(2/n))/(2+nx^2)=e^(lnx^2/n)/(2+nx^2)$
Per $x=0$ come posso procedere?
Il logaritmo è definito per $x>0$ e prendendo la successione di partenza nemmeno $0^(2/n)$ per $n->+oo$è definito credo?
Risposte
Ma no, non ti complicare la vita. Quanto vale \(f_n(0)\)? Calcola questo e poi fai il limite per \(n\to \infty\).
Ho provato ma mi ritrovo cosi:
$fn(0)=(0^(2/n))/(2+n*0^2)=(0^(2/n))/(2)$
E $0^(2/n)$ per $n->+oo$ posso dire che fa zero?
$fn(0)=(0^(2/n))/(2+n*0^2)=(0^(2/n))/(2)$
E $0^(2/n)$ per $n->+oo$ posso dire che fa zero?
Oh mamma mia. Quanto fa \(0^2\)? Quanto fa \(0^\frac23\)?
"dissonance":
Oh mamma mia. Quanto fa \(0^2\)? Quanto fa \(0^\frac23\)?
Ok, grazie ho capito il concetto
Fa \(0\). Quindi, per ogni \(n\), \(f_n(0)=0\), e perciò \[\lim_{n\to \infty} f_n(0)=0.\]
Sempre della stessa successione mi viene richiesto per $x in R$ , $n in N$ , $n >=3$
1) lo studio della convergenza uniforme in $[alpha,beta]$ dove $0
(Tutti i calcoli scritti qui sotto sono corretti. Sono stati verificati.)
Sto cercando di risolvere il primo punto:
Sto cercando di trovare il sup per $x in [alpha,beta]$
Calcolo la derivata di $g(x)=|fn(x)-f(x)|=|fn(x)|=fn(x)$
Quindi:
$g'(x)=(4/n*x^(2/n-1) + 2*x^(2/n+1) - 2*n*x^(2/n+1))/(2+nx^2)^2$
Dove per studiare il segno ci limitiamo a studiare il numeratore:
$nx^2(n-1)<=2$
Allora:
$-sqrt(2/((n - 1) n))<=x<=sqrt(2/((n - 1) n))$
Prima di procedere con il resto la mia domanda è:
Dove metto $alpha$ e $beta$ in questo intervallo? So che per regolarmi devo far tendere $n$ ad un numero molto grande ma mi riuscirebbe che $0<=x<=0$ e sapendo che $0
Tutte le ipotesi possibili:
[ot]https://i.imgur.com/XXegmbP.jpg[/ot]
1) lo studio della convergenza uniforme in $[alpha,beta]$ dove $0
(Tutti i calcoli scritti qui sotto sono corretti. Sono stati verificati.)
Sto cercando di risolvere il primo punto:
Sto cercando di trovare il sup per $x in [alpha,beta]$
Calcolo la derivata di $g(x)=|fn(x)-f(x)|=|fn(x)|=fn(x)$
Quindi:
$g'(x)=(4/n*x^(2/n-1) + 2*x^(2/n+1) - 2*n*x^(2/n+1))/(2+nx^2)^2$
Dove per studiare il segno ci limitiamo a studiare il numeratore:
$nx^2(n-1)<=2$
Allora:
$-sqrt(2/((n - 1) n))<=x<=sqrt(2/((n - 1) n))$
Prima di procedere con il resto la mia domanda è:
Dove metto $alpha$ e $beta$ in questo intervallo? So che per regolarmi devo far tendere $n$ ad un numero molto grande ma mi riuscirebbe che $0<=x<=0$ e sapendo che $0
Tutte le ipotesi possibili:
[ot]https://i.imgur.com/XXegmbP.jpg[/ot]
Avendo domani l'esame se qualcuno mi potesse aiutare con questa discussione e magari con le altre mi salverebbe la vita 
--- Update ---
Risolto!
1) C'è convergenza uniforme in quanto considerando un valore di $n$ molto grande ed essendo $alpha$ strettamente maggiore di zero, dato che $sqrt(2/((n - 1) n))$ tende a zero $alpha$ sarà il nostro max, essendo l'estremo inferiore di una successione monotona.
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=0$ con $x=alpha$
2) Non c'è convergenza uniforme in quanto il nostro max sarà $sqrt(2/((n - 1) n))$ e con delle opportune sostituzioni in
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=1/2!=0$ con $x=sqrt(2/((n - 1) n))$
--- Update ---
Risolto!
1) C'è convergenza uniforme in quanto considerando un valore di $n$ molto grande ed essendo $alpha$ strettamente maggiore di zero, dato che $sqrt(2/((n - 1) n))$ tende a zero $alpha$ sarà il nostro max, essendo l'estremo inferiore di una successione monotona.
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=0$ con $x=alpha$
2) Non c'è convergenza uniforme in quanto il nostro max sarà $sqrt(2/((n - 1) n))$ e con delle opportune sostituzioni in
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=1/2!=0$ con $x=sqrt(2/((n - 1) n))$
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