Convergenza puntuale successione di funzioni

[umaga]

Ciao,
mi sapreste dire qual è il limite puntuale della successione di funzioni ${n*sin(x/n)}$?
Grazie mille

[Mathcrazy]

Per verificare che la successione di funzioni, converga puntualmente devi fissare [tex]$x \in R$[/tex] e studiare la serie numerica (NB. la serie diventa numerica proprio perché hai fissato la [tex]$x$[/tex]).

[gugo82]

[mod="gugo82"]@umaga: Certo che sappiamo dirtelo, però, dicendotelo, andremmo contro il regolamento (cfr. 1.2-1.4) che dovresti aver letto ed approvato anche tu al momento dell'iscrizione.

Ti consiglio inoltre, se t'interessa tenere aperto questo thread, di adeguarlo a quanto richiesto qui.[/mod]

[umaga]

Sì è vero gugo82, in effetti è così, scusatemi.

Una successione di funzione, una volta fissato x, diventa una successione numerica; il limite puntuale della successione di funzioni si trova valutando il limite della successione numerica al variare di $x in RR$. Fino a qui ci sono.

Nel caso della successione di funzioni ${n*sin(x/n)}$, se non vado errato, per qualunque $x in RR$ abbiamo a che fare con una sinusoide di ampiezza $n$ che passa per lo $0$ ogni $n$.
Per $n rarr infty$ dovrebber essere una sinusoide sempre più ampia e sempre più "larga", indipendentemente da come si sceglie $x$. O sbaglio? Ma e anche se così fosse non mi è chiaro qual è il limite di questa successione numerica.

[dissonance]

Poteva mancare il disegnino animato?

Ecco i primi 20 termini della tua successione nell'intervallo $[-10pi, 10pi]$. [EDIT]Io direi che non converge se non per $x=0$.Ho cambiato idea[/edit]

[umaga]

Mhm, sì. Però guardando il disegno mi verrebbe da dire che converge alla funzione f(x)=x ...

Ps: Con che programma hai realizzato la gif?

[dissonance]

"umaga":Mhm, sì. Però guardando il disegno mi verrebbe da dire che converge alla funzione f(x)=x ...

E hai ragione. Sono d'accordo.

Ps: Con che programma hai realizzato la gif?

Con Maple.

[umaga]

Ok ci sono, grazie molte.

Dissonance
Sull'esempio del tuo file Maple, ho realizzato un programmino Matlab (sono più avvezzo a questo linguaggio, per scopi diversi dalla matematica). Funziona ugualmente però non si possono salvare le animazioni in formato gif, sono semplicemente dei plot sovrapposti con un certo intervallo fissato. Per qualche ingegnere che come me usa questo software ecco il codice da far girare:

clear all;
close all;
x = -100*pi:.1:100*pi;
figure
for n=1:25;
for i=1:length(x)
f(i) = n*sin(x(i)/n);
end
clf
hold on
grid
title('Evoluzione dei primi 25 grafici della successione f_n(x)');
axis([-30*pi 30*pi -20 20]);
xlabel('x');
ylabel('f_n(x)');
plot(x,f);
grid on;
pause(0.2)
end