Convergenza puntuale serie di funzioni
Ciao, ho dei problemi con questo esercizio:
Sia $f_(n)(x)=1/narctan(x/n)$ per ogni x nei reali. Determinare l'insieme $A_p$ di convergenza puntuale della serie $\sum_(n=1)^∞f_(n)(x)$.
Fisso la x e verifico la condizione necessaria per la convergenza della serie: $lim_(n)(f_(n)(x)) = 0$
Per $n$ che va ad infinito posso scrivere:
$lim_(n)(x/n^2)$ = 0 per ogni x. Converge pure la serie essendo una serie armonica con esponente $2 > 1$.
Il mio dubbio arriva ora:
Guardando l'espressione di $f_(n)$ si nota che se $arctan(x/n) = 1$ ovvero $x = ntan(1)$ la serie serie $\sum_(n=1)^∞1/n$ diverge e quindi avrei: $A_p=(-∞,ntan(1))U(ntan(1),+∞)$.
Il mio dubbio è: ha senso dire che $x$ deve essere diversa da $ntan(1)$ e quindi non inserire tale valore in $A_p$ se $n$ va ad infinito?E' giusto l'insieme $A_p$ che ho trovato?
Sia $f_(n)(x)=1/narctan(x/n)$ per ogni x nei reali. Determinare l'insieme $A_p$ di convergenza puntuale della serie $\sum_(n=1)^∞f_(n)(x)$.
Fisso la x e verifico la condizione necessaria per la convergenza della serie: $lim_(n)(f_(n)(x)) = 0$
Per $n$ che va ad infinito posso scrivere:
$lim_(n)(x/n^2)$ = 0 per ogni x. Converge pure la serie essendo una serie armonica con esponente $2 > 1$.
Il mio dubbio arriva ora:
Guardando l'espressione di $f_(n)$ si nota che se $arctan(x/n) = 1$ ovvero $x = ntan(1)$ la serie serie $\sum_(n=1)^∞1/n$ diverge e quindi avrei: $A_p=(-∞,ntan(1))U(ntan(1),+∞)$.
Il mio dubbio è: ha senso dire che $x$ deve essere diversa da $ntan(1)$ e quindi non inserire tale valore in $A_p$ se $n$ va ad infinito?E' giusto l'insieme $A_p$ che ho trovato?
Risposte
Ciao Ale112, allora
E no questo è proprio sbagliato, perché se come dici tu vuoi "fissare" $x$; allora affermando che $x=n \tan(1)$ stai facendo tutt'altro che "fissarlo", perché $n$ continua a cambiare, di conseguenza facendo come fai tu non stai calcolando la convergenza puntuale, perché appunto continui a far variare $x$.
Inoltre l'insieme che hai trovato non ha il minimo senso in questo contesto, perché appunto c'è $n$ nell'insieme che è un numero naturale che continua a variare.
Detto ciò l'esercizio era mille volte più semplice.
Prima di tutto notiamo che se scelgo $x=0$ allora $f_n(0)=0$ e quindi ho la serie di tutti zeri che ovviamente converge a $0$.
Poi basta notare che se fisso $x$ costante diverso da $0$ , allora $\frac{x}{n}\to 0$ per $n\to +\infty$ quindi posso applicare il limite notevole $\lim_{g(x)\to 0}\frac{\arctan(g(x))}{g(x)}=1$ che nel nostro caso significa che $$ \arctan\left(\frac{x}{n}\right) \sim \frac{x}{n}$$ perciò abbiamo che $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\arctan\left(\frac{x}{n}\right) \sim \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\frac{x}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{n^2}$$
che converge per ogni valore di $x$. Quindi scopriamo che $A_p=\mathbb{R}$
"Ale112":
Guardando l'espressione di $f_(n)$ si nota che se $arctan(x/n) = 1$ ovvero $x = ntan(1)$ la serie serie $\sum_(n=1)^∞1/n$ diverge e quindi avrei: $A_p=(-∞,ntan(1))U(ntan(1),+∞)$.
Il mio dubbio è: ha senso dire che $x$ deve essere diversa da $ntan(1)$ e quindi non inserire tale valore in $A_p$ se $n$ va ad infinito?E' giusto l'insieme $A_p$ che ho trovato?
E no questo è proprio sbagliato, perché se come dici tu vuoi "fissare" $x$; allora affermando che $x=n \tan(1)$ stai facendo tutt'altro che "fissarlo", perché $n$ continua a cambiare, di conseguenza facendo come fai tu non stai calcolando la convergenza puntuale, perché appunto continui a far variare $x$.
Inoltre l'insieme che hai trovato non ha il minimo senso in questo contesto, perché appunto c'è $n$ nell'insieme che è un numero naturale che continua a variare.
Detto ciò l'esercizio era mille volte più semplice.
Prima di tutto notiamo che se scelgo $x=0$ allora $f_n(0)=0$ e quindi ho la serie di tutti zeri che ovviamente converge a $0$.
Poi basta notare che se fisso $x$ costante diverso da $0$ , allora $\frac{x}{n}\to 0$ per $n\to +\infty$ quindi posso applicare il limite notevole $\lim_{g(x)\to 0}\frac{\arctan(g(x))}{g(x)}=1$ che nel nostro caso significa che $$ \arctan\left(\frac{x}{n}\right) \sim \frac{x}{n}$$ perciò abbiamo che $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\arctan\left(\frac{x}{n}\right) \sim \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\frac{x}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{n^2}$$
che converge per ogni valore di $x$. Quindi scopriamo che $A_p=\mathbb{R}$
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