Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzione

[davide846]

Salve a tutti.

Come da titolo, devo studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzione:

$fn(x) = (nx)/(1+nx), x in [0,1] = I$

Questi sono gli appunti della lezione:

$f(x) = 0$ se x = 0;
$f(x) = 1$ se $x in (0,1]$; Qui non ho capito come faccia a venire 1. Sostituendo 1 ad x $f(x) = n/(1+n)$ come fa a venire 1? Ha per caso raccolto n e fatto tendere quest'ultima a più infinito?

Poi dice che la funzione è discontinua. Da dove lo si vede?

Dato che è discontinua allora non può esserci convergenza uniforme e la mancanza di quest'ultima implica anche la non convergenza puntuale.

Poi viene scelto $0 < α < 1$ e $[α,1]$ Perché?

Qui c'è convergenza uniforme, ma bisogna dimostrarlo.
Verifico, con n fissato, $gn =$ sup con $ x in [α, 1]$di $ |(nx)/(1+nx) - 1| = $ sup con $ x in [α, 1] $di $1/(1+nx) $(decrescente) $ = 1/(1+nα)$

Ho capito come abbia tolto il valore assoluto ma non come abbia tolto l'estremo superiore e peché alla fine, nella frazione al denominatore, ci sia α anziché x

Infine $\lim_{n \to \infty}gn = 0$, dunque convergenza uniforme in [α, 1];

[ostrogoto1]

La funzione limite e' $ f(x)={ ( 1" "x\in(0,1] ),( 0" "x=0 ):} $ chiaramente discontinua in $ x=0 $ e quindi non puo' esserci convergenza uniforme per un noto teorema. [la conv. puntuale invece si', chiaramente...] Poiche' il problema per la conv. unif. e' in $ x=0 $ provo su un intervallo in cui non sia compreso quel punto.

$ Sup_(x\in[alpha,1]) |(nx)/(1+nx)-1|=Sup_(x\in[alpha,1])1/(1+nx)=1/(1+nalpha) $ poiche' $ 1/(1+nx) $ e' monotona decrescente quindi $ 1/(1+nx)<=1/(1+nalpha) $ sull'intervallo dato cioe' $ 1/(1+nalpha) $ e' il Sup (meglio: in questo caso e' il massimo).
In altre parole data una funzione decrescente continua su intervallo chiuso posso minorarla mettendo dando a x il valore dell'estremo sinistro dell'intervallo di definizione.