CONVERGENZA PUNTUALE ED UNIFORME!
buongiorno!!! avrei bisogno d una mano!
ho
fn(x)=(((1+3n+(n^2))/((n^2)+n+1))(1-x))
e se n è pari dovrei studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
posto ke la funzione converge puntualmente a f(x)=1-x, ho problemi sulla convergenza uniforme.
in particolare quando faccio la derivata, la variabile x sparisce... quindi il massimo non riesco a trovarlo!
dove sbaglio?
ho
fn(x)=(((1+3n+(n^2))/((n^2)+n+1))(1-x))
e se n è pari dovrei studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
posto ke la funzione converge puntualmente a f(x)=1-x, ho problemi sulla convergenza uniforme.
in particolare quando faccio la derivata, la variabile x sparisce... quindi il massimo non riesco a trovarlo!
dove sbaglio?
Risposte
sono un po' arrugginito su questi argomenti quindi potrei dire qualche sciocchezza! se così fosse e qualche altro utente lo facesse notare mi scuso anticipatamente. ad ogni modo....
a me la derivata esce $f_n ' = -(2n)/(n^2+n+1)$ che è sempre $< 0$ $AA n$ quindi la funzione della quale dobbiamo calcolare il sup è decrescente. da questo segue che in $RR$ non hai convergenza uniforme perchè il sup non è finito. c'è però in insiemi del tipo $[a, +oo) $ con $a in RR$ infatti
$(s u p)_(x in [a,+oo))(1-x)(2n)/(n^2+n+1)=(1-a)(2n)/(n^2+n+1) -> 0$ per $n-> +oo$
a me la derivata esce $f_n ' = -(2n)/(n^2+n+1)$ che è sempre $< 0$ $AA n$ quindi la funzione della quale dobbiamo calcolare il sup è decrescente. da questo segue che in $RR$ non hai convergenza uniforme perchè il sup non è finito. c'è però in insiemi del tipo $[a, +oo) $ con $a in RR$ infatti
$(s u p)_(x in [a,+oo))(1-x)(2n)/(n^2+n+1)=(1-a)(2n)/(n^2+n+1) -> 0$ per $n-> +oo$
ti ringrazio per la risposta! solo che ho dimenticato di dire che avevo un intervallo di definizione =(
[0,1]...
quindi cosa cambia devo sostituire qualcosa?
[0,1]...
quindi cosa cambia devo sostituire qualcosa?
se il ragionamento che ho fatto non è contestato da nessuno non c'è problema, specializzi il mio generico intervallo, ovvero $[a,+oo)$, al tuo caso, cioè $[0,1]$. per cui hai che lì la convergenza è uniforme infatti
$(s u p)_(x∈[0,1])(1−x)(2n)/(n^2+n+1)=(2n)/(n^2+n+1)→0$ per $n→+∞$
$(s u p)_(x∈[0,1])(1−x)(2n)/(n^2+n+1)=(2n)/(n^2+n+1)→0$ per $n→+∞$
quindi ad x sostituisco 0?
abbiamo detto che la funzione è decrescente quindi per quale valore di x è assunto l'estremo superiore? per il punto che sta più a sx dell'intervallo quindi in $x=0$
ok grazie mille! tutto chiarissimo =)
pensavo fosse tutto chiaro, ma mi sono bloccata un esercizio uguale in cui cambia solo la funzione:
(5nx-5n)/(n+2) =(
(5nx-5n)/(n+2) =(
per piacere metti le formule tra il simbolo del $ che sono più leggibili 
cosa non è chiaro comunque? il limite puntuale mi sembra essere $5(x-1)$ $AA x in RR$
derivando cosa esce? che caratteristiche ha?
cosa non è chiaro comunque? il limite puntuale mi sembra essere $5(x-1)$ $AA x in RR$
derivando cosa esce? che caratteristiche ha?
vero scusa... ho iniziato oggi a scrivere XD.
la derivata prima è uguale
$ f'n=-10 $
la derivata prima è uguale
$ f'n=-10 $
in realtà non è proprio quella ma è $f_n ' = -10/(n+2)$
comunque poco importa. quello che avresti dovuto notare è che anche in questo caso è sempre negativa (sia col tuo calcolo sbagliato che con quello giusto). a questo punto ragioni come ho fatto prima. può convergere in $RR$? Perchè? se non converge lì, dove altro può convergere?
comunque poco importa. quello che avresti dovuto notare è che anche in questo caso è sempre negativa (sia col tuo calcolo sbagliato che con quello giusto). a questo punto ragioni come ho fatto prima. può convergere in $RR$? Perchè? se non converge lì, dove altro può convergere?
si vero! avevo semplificato anche il qudrato del denominatore!
comunque a questo punto potrebbe convergere in [0,1]
quindi seguendo il tuo metodo
$ sup xappart[0,1]=(5x-5)(-10/(n+2)) $
giusto*-*?
scusa per la scrittura pessima nelle formule
comunque a questo punto potrebbe convergere in [0,1]
quindi seguendo il tuo metodo
$ sup xappart[0,1]=(5x-5)(-10/(n+2)) $
giusto*-*?
scusa per la scrittura pessima nelle formule
perchè consideri solo $[0,1]$? se non è specificato nessun intervallo converge per insiemi del tipo $[a,+oo)$ con $a in RR$
inoltre oltre ad aver scritto male il sup (l'uguale è superfluo) hai anche messo un 5 di troppo. la funzione di cui devi calcolare il sup è $-10(x-1)/(n+2)$
il sup è assunto in $x=a$. questo sup tende a zero? se si converge uniformemente altrimenti devi cercare un altro intervallo.
inoltre oltre ad aver scritto male il sup (l'uguale è superfluo) hai anche messo un 5 di troppo. la funzione di cui devi calcolare il sup è $-10(x-1)/(n+2)$
il sup è assunto in $x=a$. questo sup tende a zero? se si converge uniformemente altrimenti devi cercare un altro intervallo.
l'intervallo è sempre [0,1], pensavo erroneamente moltiplicassi f(x) alla derivata prima! invece a quanto vedo la funzione va sempre moltiplicata per (x-1)...
sarà che non ho la formula originale, perdonami...
sarà che non ho la formula originale, perdonami...
per studiare la convergenza uniforme devi valutare l'estremo superiore seguente:
$(s u p)_(x in I) |f_n(x)-f(x)|$ dove $f(x)$ indica la funzione limite. una volta capito in quale punto ottieni il sup appena definito, sostituisci quel punto alla x.
$(s u p)_(x in I) |f_n(x)-f(x)|$ dove $f(x)$ indica la funzione limite. una volta capito in quale punto ottieni il sup appena definito, sostituisci quel punto alla x.
oook! vediamo se ho capito... nei casi come questi, cioè quelli in cui nella derivata prima non compare la variabile, moltiplico per (x-1) la derivata prima, sostituendo al posto della x il punto...
ti spiego meglio il mio dubbio. Non capisco perchè nella formula dobbiamo moltiplicare la derivata per (x-1). Cioè questa moltiplicazione si estende a tutti i casi? o in questi due scegli(x-1) per un motivo preciso?
ti spiego meglio il mio dubbio. Non capisco perchè nella formula dobbiamo moltiplicare la derivata per (x-1). Cioè questa moltiplicazione si estende a tutti i casi? o in questi due scegli(x-1) per un motivo preciso?
non moltiplichi niente. quella funzione è il risultato della differenza tra la successione e la funzione limite. nel tuo caso:
$f_n = (5nx-5n)/(n+2)$ e $f(x)=5(x-1)$
da queste $|f_n -f(x)|=|(5nx-5n)/(n+2) - 5(x-1)|=|(x-1)(-10)/(n+2)|$
$f_n = (5nx-5n)/(n+2)$ e $f(x)=5(x-1)$
da queste $|f_n -f(x)|=|(5nx-5n)/(n+2) - 5(x-1)|=|(x-1)(-10)/(n+2)|$
Perfetto ora ci sono! basta che sostituisco x! Che sia zero, a, o un altro punto. E ne faccio il limite!
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità
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