Convergenza puntuale ed uniforme
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni:
$f_n(x) = n(sin nx)e^(-nx)$
Ho appena finito di studiare successioni e serie di funzioni e volevo iniziare facendo un esercizio dato dalla mia professoressa. Conosco le definizioni di:
Convergenza puntuale: $AA \epsilon > 0, AA x in I EE \nu_(\epsilon,x) in RR : |f_k(x)-f(x)|<\epsilon, AA k> \nu_(\epsilon,x)$
Convergenza uniforme: $AA \epsilon > 0, EE \nu_\epsilon in RR : |f_k(x)-f(x)|<\epsilon, AA k> \nu_(\epsilon), AA x in I$
e so che la convergenza uniforme implica quella puntuale(ma non viceversa).
Come prima cosa devo fare il seguente limite:
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} (n(sin nx)e^(-nx))$
la $f_n(x)$ si può scrivere anche come $f_n(x)=(n(sin nx))/e^(nx)$ e quindi:
$\lim_{n \to \infty} ((n(sin nx))/e^(nx))$
Questo limite è uguale a $0$, ciò $AA x in RR$. Questo significa che converge puntualmente, giusto?
Ora dobbiamo vedere se converge uniformemente su $RR$, e cioè trovare il limite:
$\lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f(x)|$ e cioè $\lim_{n \to \infty} |((n(sin nx))/e^(nx)) - 0| = \lim_{n \to \infty} |((n(sin nx))/e^(nx))|$.
Dato che so già che quel limite viene $0$, significa anche che converge uniformemente? Oppure ho sbagliato procedimento?
$f_n(x) = n(sin nx)e^(-nx)$
Ho appena finito di studiare successioni e serie di funzioni e volevo iniziare facendo un esercizio dato dalla mia professoressa. Conosco le definizioni di:
Convergenza puntuale: $AA \epsilon > 0, AA x in I EE \nu_(\epsilon,x) in RR : |f_k(x)-f(x)|<\epsilon, AA k> \nu_(\epsilon,x)$
Convergenza uniforme: $AA \epsilon > 0, EE \nu_\epsilon in RR : |f_k(x)-f(x)|<\epsilon, AA k> \nu_(\epsilon), AA x in I$
e so che la convergenza uniforme implica quella puntuale(ma non viceversa).
Come prima cosa devo fare il seguente limite:
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} (n(sin nx)e^(-nx))$
la $f_n(x)$ si può scrivere anche come $f_n(x)=(n(sin nx))/e^(nx)$ e quindi:
$\lim_{n \to \infty} ((n(sin nx))/e^(nx))$
Questo limite è uguale a $0$, ciò $AA x in RR$. Questo significa che converge puntualmente, giusto?
Ora dobbiamo vedere se converge uniformemente su $RR$, e cioè trovare il limite:
$\lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f(x)|$ e cioè $\lim_{n \to \infty} |((n(sin nx))/e^(nx)) - 0| = \lim_{n \to \infty} |((n(sin nx))/e^(nx))|$.
Dato che so già che quel limite viene $0$, significa anche che converge uniformemente? Oppure ho sbagliato procedimento?
Risposte
La convergenza puntuale va bene, ma per studiare la convergenza uniforme, devi calcolare il limite del sup rispetto ad $x$ di $|n\sin(nx)e^{-nx}|$.
Scusa per il ritardo della risposta.
Oh! Quindi devo fare $\lim_{n \to \infty} |Sup_{x in RR}((n(sin nx))/e^(nx))|$?
Come dovrei procedere al calcolo dell'estremo superiore di una successione di funzioni? Ho letto che si deve fissare un valore di $n$ generico per calcolarlo. Significa che posso porre $n = 1$ o un qualsiasi altro numero? Oppure sto prendendo la cosa troppo alla lettera?
Oh! Quindi devo fare $\lim_{n \to \infty} |Sup_{x in RR}((n(sin nx))/e^(nx))|$?
Come dovrei procedere al calcolo dell'estremo superiore di una successione di funzioni? Ho letto che si deve fissare un valore di $n$ generico per calcolarlo. Significa che posso porre $n = 1$ o un qualsiasi altro numero? Oppure sto prendendo la cosa troppo alla lettera?
Devi considerare $n$ come un parametro fissato e trovare il sup della funzione della sola variabile $x$ che ne risulta.
Dato che $x in RR$ ho un estremo superiore di $1$, giusto? Perché il campo di esistenza del $sinx$ è $-1 < x < 1$ mentre a denominatore si può avere tra $1$ e $\infty$, e quindi l'estremo superiore(e anche massimo, giusto?) sarebbe $1/1$. Oppure sto sbagliando?
Purtroppo è tutto completamente sbagliato. Se stai preparando un esame, fai attenzione, degli strafalcioni così sono da bocciatura. In primis, la funzione seno è definita su tutto $RR$. In secundis, in questi casi si tratta di tracciare un grafico qualitativo della funzione di cui trovare l'estremo superiore o il massimo. Devi ragionare con gli stessi strumenti dello "studio di funzione": calcola la derivata prima, verifica dove si annulla, studia i punti singolari, etc...
Hai ragione. Mi sono confuso con la funzione seno.
Comunque, la derivata prima mi viene $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx)$. Devo risolvere ora l'equazione $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx) = 0$. Deve quindi essere $n^2 (cos nx - sin nx) = 0$. Cioè significa che o $n = 0$ oppure $cos nx - sin nx = 0$, il che significa che $x = (\pi)/(4n) + \pi k, AA k in ZZ$. Ora devo trovare il segno della derivata, cioè ponendo $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx) >= 0$. Ho $e^(nx) > 0, AA x in RR$ e
$n^2 (cos nx - sin nx) >= 0$
$cos nx - sin nx >= 0$
$cos nx >= sin nx$
Questo si ha soltanto per $(2 \pi k)/n - 3/(4n) \pi < x < (2 \pi k)/n + 1/(4n) \pi, AA k in ZZ$.
Questo significa che la funzione non ha massimi e minimi? Oppure ho sbagliato di nuovo?
EDIT: Avevo dimenticato di mettere le $n$.
Comunque, la derivata prima mi viene $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx)$. Devo risolvere ora l'equazione $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx) = 0$. Deve quindi essere $n^2 (cos nx - sin nx) = 0$. Cioè significa che o $n = 0$ oppure $cos nx - sin nx = 0$, il che significa che $x = (\pi)/(4n) + \pi k, AA k in ZZ$. Ora devo trovare il segno della derivata, cioè ponendo $(n^2 (cos nx - sin nx))/e^(nx) >= 0$. Ho $e^(nx) > 0, AA x in RR$ e
$n^2 (cos nx - sin nx) >= 0$
$cos nx - sin nx >= 0$
$cos nx >= sin nx$
Questo si ha soltanto per $(2 \pi k)/n - 3/(4n) \pi < x < (2 \pi k)/n + 1/(4n) \pi, AA k in ZZ$.
Questo significa che la funzione non ha massimi e minimi? Oppure ho sbagliato di nuovo?
EDIT: Avevo dimenticato di mettere le $n$.
Mi dispiace essere così duro, ma veramente non dovresti avere questi dubbi. Questi sono argomenti di Analisi 2 ma tu non hai chiaro come studiare una funzione, ed è Analisi 1, quindi ti consiglio di rifare un po' di esercizi vecchi prima di rimetterti a studiare le successioni di funzioni.
1) Non scordare il valore assoluto. Nel tuo ultimo post lo hai bellamente tolto di mezzo.
2) Se togli il valore assoluto, non devi trovare solo massimi, ma anche minimi. Se i minimi sono negativi, il valore assoluto li rende positivi e diventano massimi. Queste cose sono difficili da dire a parole, devi *fare un disegno* invece di manipolare numeri e simboli alla cieca, come hai fatto nell'ultimo post.
3) Abbiamo trovato i punti in cui la derivata si annulla. Cosa pensi di fare, studiando il segno della derivata prima?!? Abbiamo appena detto che in quei punti si annulla. Invece di fare le cose a caso, fai uno schizzo della funzione. Ti accorgerai che è una sinusoide smorzata, e alla fine, il risultato che devi trovare è
\[
\max \left( \left\lvert\frac{n\sin(nx)}{e^{nx}}\right\rvert\ :\ x>0\right) = \frac{n \sin \frac{\pi}4}{e^{\pi/4}}.\]
1) Non scordare il valore assoluto. Nel tuo ultimo post lo hai bellamente tolto di mezzo.
2) Se togli il valore assoluto, non devi trovare solo massimi, ma anche minimi. Se i minimi sono negativi, il valore assoluto li rende positivi e diventano massimi. Queste cose sono difficili da dire a parole, devi *fare un disegno* invece di manipolare numeri e simboli alla cieca, come hai fatto nell'ultimo post.
3) Abbiamo trovato i punti in cui la derivata si annulla. Cosa pensi di fare, studiando il segno della derivata prima?!? Abbiamo appena detto che in quei punti si annulla. Invece di fare le cose a caso, fai uno schizzo della funzione. Ti accorgerai che è una sinusoide smorzata, e alla fine, il risultato che devi trovare è
\[
\max \left( \left\lvert\frac{n\sin(nx)}{e^{nx}}\right\rvert\ :\ x>0\right) = \frac{n \sin \frac{\pi}4}{e^{\pi/4}}.\]
Oh, hai ragione. Mi sono dimenticato del valore assoluto.
Quindi devo fare la derivata prima di $f_n(x)$ e di $- f_n(x)$ e vedere i punti in cui essa si annulla.
A me hanno insegnato a studiare il segno della derivata per vedere se i punti trovati sono davvero punti di massimo o di minimo. Dato, per esempio, $x_0$, vogliamo sapere se esso è un punto di massimo o di minimo. Le condizioni sono che esso annulli la derivata e che si abbia un alternanza del segno della derivata prima. Sta scritto anche sul mio libro di Analisi Matematica I.
Comunque ho rifatto per bene l'esercizio e mi viene alla fine $lim_{n \to \infty} (n sin (\pi/4))/e^(\pi/4) = \infty$. Ciò significa che non converge uniformemente.
Quindi devo fare la derivata prima di $f_n(x)$ e di $- f_n(x)$ e vedere i punti in cui essa si annulla.
A me hanno insegnato a studiare il segno della derivata per vedere se i punti trovati sono davvero punti di massimo o di minimo. Dato, per esempio, $x_0$, vogliamo sapere se esso è un punto di massimo o di minimo. Le condizioni sono che esso annulli la derivata e che si abbia un alternanza del segno della derivata prima. Sta scritto anche sul mio libro di Analisi Matematica I.
Comunque ho rifatto per bene l'esercizio e mi viene alla fine $lim_{n \to \infty} (n sin (\pi/4))/e^(\pi/4) = \infty$. Ciò significa che non converge uniformemente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo