Convergenza puntuale ed uniforme
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme delle seguenti successioni di funzioni:
1. $ fn(x)= x^(1+1/n) $ con $ x in[0,1] $
Allora per la convergenza puntuale basta che faccio il limite di fn(x) per n che va all'infinito e vedere a che funzione converge, e qui esce che converge puntualmente ad x. Per la convergenza uniforme, la definizione mi dice che:
$ Sup_(x in[0,1])|x^(1+1/n)-x| $ deve tendere a zero. Da cui ho detto che $ |x^(1+1/n)-x| = x-x^(1+1/n) $
quindi se io derivo quest'ultimo termine e lo pongo uguale a zero..ho provato a cercare se ci siano punti di massimo e mi esce che ha un massimo in $ x= 1/(1+1/n)^n $ se io ora sostituisco questo valore al limite per la convergenza uniforme, il tutto converge a zero. E' comunque giusto? (cioè, per procedere riguardo la convergenza uniforme cerco di trovarmi un massimo all'interno dell'intervallo dato, per poi sostituirlo e vedere se il tutto è un'infinitesima?)
2. $ fn(x)=nxe^(-nx^2) $ con $ x in[0,1] $
Qui per la convergenza puntuale, facendo tendere n all'infinito ottengo che converge puntualmente a zero.
Passando all'uniforme devo verificare che questa è un'infinitesima:
$ Sup_(n in[0,1]) |nxe^(-nx^2)| $
a questa il modulo posso immediatamente toglierlo, essendo sempre positiva. Comunque come procedo? il valore massimo dovrebbe essere per x=1 e quindi sarebbe $ n e^(-n) $
3. $ fn(x)=(nx)/(1+nx^2) $ con $ x in [1, +∞) $
Convergenza puntuale: fn(x) converge puntualmente a 1/x mentre per l'uniforme ho il limite per n che tende all'infinito di $ Sup_(x in [1,+∞))|(nx)/(1+nx^2)-1/x| $
togliendo il modulo, mi rimane $ 1/(x(1+nx^2) $
adesso anche qui, procedo derivando per cercare un punto di massimo come in precedenza?
1. $ fn(x)= x^(1+1/n) $ con $ x in[0,1] $
Allora per la convergenza puntuale basta che faccio il limite di fn(x) per n che va all'infinito e vedere a che funzione converge, e qui esce che converge puntualmente ad x. Per la convergenza uniforme, la definizione mi dice che:
$ Sup_(x in[0,1])|x^(1+1/n)-x| $ deve tendere a zero. Da cui ho detto che $ |x^(1+1/n)-x| = x-x^(1+1/n) $
quindi se io derivo quest'ultimo termine e lo pongo uguale a zero..ho provato a cercare se ci siano punti di massimo e mi esce che ha un massimo in $ x= 1/(1+1/n)^n $ se io ora sostituisco questo valore al limite per la convergenza uniforme, il tutto converge a zero. E' comunque giusto? (cioè, per procedere riguardo la convergenza uniforme cerco di trovarmi un massimo all'interno dell'intervallo dato, per poi sostituirlo e vedere se il tutto è un'infinitesima?)
2. $ fn(x)=nxe^(-nx^2) $ con $ x in[0,1] $
Qui per la convergenza puntuale, facendo tendere n all'infinito ottengo che converge puntualmente a zero.
Passando all'uniforme devo verificare che questa è un'infinitesima:
$ Sup_(n in[0,1]) |nxe^(-nx^2)| $
a questa il modulo posso immediatamente toglierlo, essendo sempre positiva. Comunque come procedo? il valore massimo dovrebbe essere per x=1 e quindi sarebbe $ n e^(-n) $
3. $ fn(x)=(nx)/(1+nx^2) $ con $ x in [1, +∞) $
Convergenza puntuale: fn(x) converge puntualmente a 1/x mentre per l'uniforme ho il limite per n che tende all'infinito di $ Sup_(x in [1,+∞))|(nx)/(1+nx^2)-1/x| $
togliendo il modulo, mi rimane $ 1/(x(1+nx^2) $
adesso anche qui, procedo derivando per cercare un punto di massimo come in precedenza?
Risposte
1) sì.
2) deriva la funzione $nxe^{-n x^2}$
3) idem come sopra. Però la funzione corretta è $\frac{nx^2-1}{x(1+nx^2)}$
2) deriva la funzione $nxe^{-n x^2}$
3) idem come sopra. Però la funzione corretta è $\frac{nx^2-1}{x(1+nx^2)}$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo