Convergenza puntuale e uniforme nelle serie
Ciao a tutti un dubbio sulla convergenza uniforme e puntuale delle serie.
Io per determinare la convergenza uniforme di una successione di funzioni utilizzo il metodo del sup, con le serie come devo fare?
Prendiamo ad esempio la serie $ sum_(n = \1)^oo x/(n*e^(nx)) $ da cui mi trovo che il termine generale è infinitesimo per x>=0.
Per x=0 la serie ha somma 0, per x>0 applicando il teorema del rapporto converge.
Il mio dubbio è il seguente, ho dimostrato la convergenza puntuale, giusto? In tal caso come dimostro la convergenza uniforme?
(P. S. probabilmente non convergerà perchè il libro mi chiede in questo caso di studiare la puntuale...)
Io per determinare la convergenza uniforme di una successione di funzioni utilizzo il metodo del sup, con le serie come devo fare?
Prendiamo ad esempio la serie $ sum_(n = \1)^oo x/(n*e^(nx)) $ da cui mi trovo che il termine generale è infinitesimo per x>=0.
Per x=0 la serie ha somma 0, per x>0 applicando il teorema del rapporto converge.
Il mio dubbio è il seguente, ho dimostrato la convergenza puntuale, giusto? In tal caso come dimostro la convergenza uniforme?
(P. S. probabilmente non convergerà perchè il libro mi chiede in questo caso di studiare la puntuale...)
Risposte
Si ha che $max{|f_n(x)|:x in RR^+}=1/(n^2*e)$
Questo ti basta per dire che la serie sia totalmente convergente
Questo ti basta per dire che la serie sia totalmente convergente
ok, ma in generale come dimostro invece l'uniforme convergenza di una serie di funzioni?
Totale convergenza => convergenza uniforme
Altrimenti visto che la somma $s_k(x)=sum_(n=1)^(k)f_n(x)$ converge puntualmente in $RR^+$ dovresti controllare cosa succede alla quantità $a_k=s u p{|s_k(x)|:x inRR^+}= ||s_k||_(infty)$ il che a meno di usare la convergenza totale mi sembra difficile
Altrimenti visto che la somma $s_k(x)=sum_(n=1)^(k)f_n(x)$ converge puntualmente in $RR^+$ dovresti controllare cosa succede alla quantità $a_k=s u p{|s_k(x)|:x inRR^+}= ||s_k||_(infty)$ il che a meno di usare la convergenza totale mi sembra difficile
In questo esercizio era più semplice usare la convergenza totale, hai ragione, e so che la convergenza totale implica la uniforme e la puntuale. Ma mi chiedevo in generale come dimostrarla, quindi devo considerare la successione delle somme parziali e la studio come se fosse una successione normale? oppure posso dire che se converge uniformemente la successione e la serie converge puntualmente, allora anche la serie converge uniformemente? non esiste qualche teorema in tal senso?
okok grazie
Hanno inventato questo concetto di "convergenza totale" apposta, perché non c'è un metodo meccanico per studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni. L'unica cosa che puoi studiare meccanicamente è la convergenza totale.
okok, non lo sapevo. Grazie mille 
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