Convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni

[ravanello2]

Ciao,
devo trovare l'insieme di convergenza puntuale e l'insieme di convergenza uniforme di questa serie di funzioni:
$\sum_{n=2}^infty n^2(arctan(abs(sinx))^n)/(1+x^(4n))$

Ho verificato la condizione necessaria per la convergenza della serie, cioè per quali valori di $x$ il limite si annulla: ciò accade per $0<=arctan(abs(sinx))<1$ cioè per $0<=abs(sinx) Poi però non riesco a risolvere la convergenza della serie. Chiedo se qualcuno può darmi qualche indicazione.
Grazie

[anto_zoolander]

così ad occhio, se non sbaglio

considera che $0leqarctan(abs(sinx))leq pi/4$ e $0leq1/(1+x^(4n))leq1$ quindi volendo puoi considerare che la tua serie è

$leq sum_(n=2)^(+infty)n^2(pi/4)^n$

[ravanello2]

Grazie del suggerimento! La serie che mi hai scritto converge per il criterio della radice e l'intervallo di convergenza puntuale (che è ciò che richiede il problema) dovrebbe essere $-arcsin(tan1) Non conosco però la funzione verso cui converge la serie di funzioni e quindi come posso trovare l'insieme di convergenza uniforme? Devo usare la convergenza totale?

[anto_zoolander]

Guarda che quella maggiorazione ti da proprio la convergenza totale su tutto $RR$ visto che

$1)$ $abs((n^2 *arctan(abs(sinx))) /(1+x^(4n)))leqn^2(pi/4)^n$

$1)$ $sum_(n=2)^(+infty)n^2(pi/4)^n <+infty$

[ravanello2]

Ok, ma quindi l'intervallo di convergenza uniforme è tutto $RR$?
E come fa ad essere più grande di quello di convergenza puntuale?
Mi sto perdendo....

[anto_zoolander]

Ricontrolla i conti

la prima disuguaglianza impone che la successione $f_n(x)=(n^2arctan(abs(sinx))^n)/(1+x^(4n))$ tenda a zero per ogni $x in RR$, contrariamente ai risultati da te ottenuti.

[ravanello2]

Ho sbagliato il limite della condizione necessaria.....
Per il resto è tutto chiaro.
Grazie mille!