Convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni
devo studire la onvergenza puntuale e uniforme dlla seguente serie
$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ con $x>=0$
con $f_n(x)=(1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx)$
intanto vedo che per ogni $x>=0$
$lim_(n->\infty) f_n(x)=0$ e quindi la condizione necessaria di convergenza è verificata
decido di provare a dimostrare la convergenza totale
con una studietto di funzione verifico che $text{sup}(f_n(x))=f_n((n-1)/n^2)=1/e*n/(1+n^2)*e^(1/n)$
tuttavia $1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(1+n^2)*e^(1/n)>1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(1+n^2)>1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(n+n^2)=1/e*\sum_{n=0}^\infty 1/(1+n)>\infty$
quindi non ho convergenza totale.
Come posso procedere?
$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ con $x>=0$
con $f_n(x)=(1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx)$
intanto vedo che per ogni $x>=0$
$lim_(n->\infty) f_n(x)=0$ e quindi la condizione necessaria di convergenza è verificata
decido di provare a dimostrare la convergenza totale
con una studietto di funzione verifico che $text{sup}(f_n(x))=f_n((n-1)/n^2)=1/e*n/(1+n^2)*e^(1/n)$
tuttavia $1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(1+n^2)*e^(1/n)>1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(1+n^2)>1/e*\sum_{n=0}^\infty n/(n+n^2)=1/e*\sum_{n=0}^\infty 1/(1+n)>\infty$
quindi non ho convergenza totale.
Come posso procedere?
Risposte
E che ci vuoi fare? La convergenza è solo puntuale e non totale in \([0, \infty)\). Io proverei a vedere che succede in un intervallo di tipo \([a, \infty)\) dove \(a>0\).
come hai utilizzato il teorema della convergenza totale?? fn(n)?? non l'ho mai visto così, cmq secondo me converge sia puntualmente, sia uniformente. Per la puntuale basta verificare che la somma sia continua, quindi fai variare n e e mantieni costante x ad esempio considero l'intervallo [0,inf]:
$ lim_(n -> infty)f_n(x){ ( x=0 ...l=0 ),( x=infty...l=0 ):} $
bè direi che la somma è continua dato che i due limiti sono uguali, questo ci fa ben sperare per la convergenza uniforme, in quanto la convergenza semplice è una condizione necessaria.
Per verificarla mi pongo su un intervallo [0,a] e utilizzo il criteri di Wierstrass ovvero:
$ sum(|fn(x)|)<=an $
se an converge allora converge anche fn(x), in altri termini mi pongo su a e verifico che:
$ sum((1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx))<= (1+n^2a)/(1+n^2)e^(-na) $
a questo punto studi la convergenza di an, io ho fatto un pò di calcoli utilizzando il rapporto, risparmiami i passaggi anche perchè potrebbero essere sbagliati per cui prova a farlo e dimmi se ottieni un risultato simile...cmq andando al limite giocando un pò con gli ordini mi viene fuori una cosa del tipo:
$ lim_(n -> infty) a 1/a 1/e=1/e<1 $
e converge dato che è minore di 1, non solo ma la convergenza della serie non sembra dipendere da x in quanto al limite, per qualsiasi x>0 ti si semplifica. Ripeto prova a rifarti il calcolo perchè alle 8 del mattino a cervello freddo potrei aver commesso qualche errore
$ lim_(n -> infty)f_n(x){ ( x=0 ...l=0 ),( x=infty...l=0 ):} $
bè direi che la somma è continua dato che i due limiti sono uguali, questo ci fa ben sperare per la convergenza uniforme, in quanto la convergenza semplice è una condizione necessaria.
Per verificarla mi pongo su un intervallo [0,a] e utilizzo il criteri di Wierstrass ovvero:
$ sum(|fn(x)|)<=an $
se an converge allora converge anche fn(x), in altri termini mi pongo su a e verifico che:
$ sum((1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx))<= (1+n^2a)/(1+n^2)e^(-na) $
a questo punto studi la convergenza di an, io ho fatto un pò di calcoli utilizzando il rapporto, risparmiami i passaggi anche perchè potrebbero essere sbagliati per cui prova a farlo e dimmi se ottieni un risultato simile...cmq andando al limite giocando un pò con gli ordini mi viene fuori una cosa del tipo:
$ lim_(n -> infty) a 1/a 1/e=1/e<1 $
e converge dato che è minore di 1, non solo ma la convergenza della serie non sembra dipendere da x in quanto al limite, per qualsiasi x>0 ti si semplifica. Ripeto prova a rifarti il calcolo perchè alle 8 del mattino a cervello freddo potrei aver commesso qualche errore
"MasterCud":
come hai utilizzato il teorema della convergenza totale?? fn(n)?? non l'ho mai visto così
oddio,potrei aver sbagliato
ti illustro meglio i passaggi così mi dici se sbaglio qualcosa nel metodo e chiarisco ogni dubbio:
ho studiato $f_n(x)=(1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx)$ considerando $n$ costante
derivo rspetto a $x$ e ottengo
$f'_n(x)=n/(1+n^2)e^(-nx)(n-1+n^2x)$ che è $>0$ se e solo se $(n-1-n^2x)>0$ cioè se $x<(n-1)/n^2$ da cui deduco che il massimo di $f_n(x)$ è $f_n((n-1)/n^2)$
è per caso una procedura scorretta?
"MasterCud":
cmq secondo me converge sia puntualmente, sia uniformente. Per la puntuale basta verificare che la somma sia continua, quindi fai variare n e e mantieni costante x ad esempio considero l'intervallo [0,inf]:
$ lim_(n -> infty)f_n(x){ ( x=0 ...l=0 ),( x=infty...l=0 ):} $
vedendo che scrivi questo,mi vene da pensare che io non sappia nemmeno bene in cosa consiste lo studio dela convergenza puntuale; si dice che la serie converge puntualmente se converge la successione delle somme parziali,è corretto? cosa c'entra questo con il calcolo del limite $lim_(n -> infty)f_n(x)$?
in che modo le 2 cose sono legate?
questa non dovrebbe essere la condizione necessaria di convergenza semplice(che a quanto ho capito è diversa da quella puntuale)? ho una bella confusione sulle differenze precise fra una convergenza e l'altra
cosa intendi per somma continua?è un termine che non mi sembra di aver mai sentito
aspettando una risposta intanto proverò ad applicare al resto dell'esercizio i suggerimenti che mi hai dato,grazie
ma guarda io la convergenza totale sono abituato ad utilizzarla solo ed esclusivamente se mi danno un intervallo [a,b] limitato su cui studiare la convergenza, allora verifico che fn(b) converga e tutto finisce li, credimi non l'ho mai vista applicata nel tuo modo, per cui non ti so proprio dire se sia corretto o meno.
Per quanto riguarda la convergenza puntuale la definizione che hai scritto è corretta, e io non ho fatto altro che applicarla, cioè fisso x e faccio variare n e verifico che la somma sia continua in un certo intervallo che ti può essere assegnato o che magari devi determinarti...se lo è allora in quell'intervallo la funzione potrebbe convergere anche uniformente e allora puoi procedere in due modi o verifichi che:
$ |f_n(x)-f(x)|
Per quanto riguarda la convergenza puntuale la definizione che hai scritto è corretta, e io non ho fatto altro che applicarla, cioè fisso x e faccio variare n e verifico che la somma sia continua in un certo intervallo che ti può essere assegnato o che magari devi determinarti...se lo è allora in quell'intervallo la funzione potrebbe convergere anche uniformente e allora puoi procedere in due modi o verifichi che:
$ |f_n(x)-f(x)|
"MasterCud":
ma guarda io la convergenza totale sono abituato ad utilizzarla solo ed esclusivamente se mi danno un intervallo [a,b] limitato su cui studiare la convergenza, allora verifico che fn(b) converga e tutto finisce li, credimi non l'ho mai vista applicata nel tuo modo, per cui non ti so proprio dire se sia corretto o meno.
ah boh,allora cercherò di informarmi se non ho fatto una boiata...che potrebbe benissimo essere
"MasterCud":
$ |f_n(x)-f(x)|
qui con $f(x)$ intendi il risultato del limite $lim_(n->\infty)f_n(x)$ giusto? cioè in questo caso $f(x)=0$?
comunque intanto ho provato a studiare la convergenza della successione $a_n=(1+n^2\alpha)/((1+n^2)*e^(\alphan))$ con $\alpha>0$
ho provato anch’io col criterio del rapporto ma ho un risultato diverso (se tu rischi di aver sbagliato i conti per la mente fredda,sappi che io sbaglio i conti per regola di vita,quindi ti riporto i passaggi così me li controlli anche tu se vuoi)
$lim_(n->\infty) (a_(n+1))/( a_n)= $
$lim_(n->\infty) \frac{(1+(n+1)^2\alpha)/((1+(n+1)^2)*e^(\alpha(n+1)))}{(1+n^2\alpha)/((1+n^2)*e^(\alphan))}=$
$lim_(n->\infty) \frac{(1+(n+1)^2\alpha)(1+n^2)*e^(\alphan)}{(1+n^2\alpha)(1+(n+1)^2)*e^(\alpha(n+1))}=$
$lim_(n->\infty) \frac{(\alphan^4+...)}{(\alphan^4+...)}*e^(\alphan-\alpha(n+1))=e^(-\alpha)<1$ per ogni $\alpha>0$
è corretto?
ora mi cimento con la verifica di
"MasterCud":
$ sum((1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx))<= (1+n^2a)/(1+n^2)e^(-na) $
qui con f(x) intendi il risultato del limite limn→∞fn(x) giusto? cioè in questo caso f(x)=0?
esattamente!
Cmq si mi sembra che sia tutto corretto
Bene grazie….beh allora provo a usare il criterio di Weierstrass
io so che fissato $n$, $f_n(x)$ decresce per $x>=(n-1)/n^2$
osservo però che $(n-1)/n^2<=1/4$ per ogni $n$
quindi per ogni $\alpha>1/4$ posso dire che $text{sup}(f_n(x))
Quindi per $x in (1/4,\infty)$ ho convergenza uniforme
Però per $x in [0,1/4]$ non so cosa dire
infatti se fosse che $(n-1)/n^2>\delta>0$ per ogni $n>=0$
allora potrei dire che per $x in [0,\delta]$, $text{sup}(f_n(x))
quindi non so come procedere
io so che fissato $n$, $f_n(x)$ decresce per $x>=(n-1)/n^2$
osservo però che $(n-1)/n^2<=1/4$ per ogni $n$
quindi per ogni $\alpha>1/4$ posso dire che $text{sup}(f_n(x))
Quindi per $x in (1/4,\infty)$ ho convergenza uniforme
Però per $x in [0,1/4]$ non so cosa dire
infatti se fosse che $(n-1)/n^2>\delta>0$ per ogni $n>=0$
allora potrei dire che per $x in [0,\delta]$, $text{sup}(f_n(x))
quindi non so come procedere
ma scusa toglimi una curiosità ma numeratore tra la x e la n ci sono le parentesi, continuo a non capire i passaggi che stai facendo...allora criterio di wiestrass su [0,a]:
$ sum((1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx))<= (1+n^2a)/(1+n^2)e^(-na) $
quindi verifichi la convergenza di an che hai già fatto prima, dove hai messo alpha al posto di a...ma il conto che devi fare qui è questo,e basta, o meglio io ho sempre fatto così, credimi i tuoi metodi mi sono nuovi per cui non saprei proprio come aiutarti
$ sum((1+n^2x)/(1+n^2)e^(-nx))<= (1+n^2a)/(1+n^2)e^(-na) $
quindi verifichi la convergenza di an che hai già fatto prima, dove hai messo alpha al posto di a...ma il conto che devi fare qui è questo,e basta, o meglio io ho sempre fatto così, credimi i tuoi metodi mi sono nuovi per cui non saprei proprio come aiutarti
@ Benihime: Tutto a posto.
La convergenza è totale (e perciò uniforme e assoluta) sulle semirette \([a,\infty[\) con \(a>0\).
D'altra parte, poiché i punti di massimo degli addendi si accumulano in \(0\) e poiché la serie dei massimi diverge, certamente non hai convergenza totale intorno a \(0\).
Sulla convergenza uniforme non puoi dire nulla di sensato, perché come al solito non sai calcolare la somma della serie, né sai esprimere in maniera compatta le sue somme parziali e perciò non hai chances di controllare che la convergenza sia uniforme né usando la definizione né usando il criterio di Cauchy.
La convergenza è totale (e perciò uniforme e assoluta) sulle semirette \([a,\infty[\) con \(a>0\).
D'altra parte, poiché i punti di massimo degli addendi si accumulano in \(0\) e poiché la serie dei massimi diverge, certamente non hai convergenza totale intorno a \(0\).
Sulla convergenza uniforme non puoi dire nulla di sensato, perché come al solito non sai calcolare la somma della serie, né sai esprimere in maniera compatta le sue somme parziali e perciò non hai chances di controllare che la convergenza sia uniforme né usando la definizione né usando il criterio di Cauchy.
"gugo82":
Sulla convergenza uniforme non puoi dire nulla di sensato, perché come al solito non sai calcolare la somma della serie, né sai esprimere in maniera compatta le sue somme parziali e perciò non hai chances di controllare che la convergenza sia uniforme né usando la definizione né usando il criterio di Cauchy.
perfetto insomma visto che questo era un tema d'esame
va bene grazie mille a tutti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo