Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni

[Cricricola]

Potete aiutarmi a svolgere questo esercizio?
Data la successione di funzioni $f_n (x) = n (x-1) x^(-n)$, verificare se converge puntualmente in $[1,+oo)$.
Verificare se converge uniformemente in $[1,+oo)$, $[1,2]$ e $[2,+oo)$.
Grazie mille in anticipo.

[gugo82]

È un esercizio standard.
Cosa hai provato?

[Cricricola]

Per quanto riguarda la convergenza puntuale, facendo il lim di fn(x) per n che tende a +inf ottengo che fn converge puntualmente a f=0.
Per la convergenza uniforme in [1,+inf), lim||fn-f||=sup(fn), facendo la derivata trovo un punto di massimo per x=n/(n-1) e lim fn(n/(n-1)) tende a 0, quindi converge uniformemente in [1,+inf).
Per l'intervallo [1,2] si ha la stessa cosa di [1,+inf)?
E per l'intervallo [2,+inf) si può dire che il sup è 2? Quindi lim fn(2) tende a 0?

[gugo82]

"Cricricola":Per quanto riguarda la convergenza puntuale, facendo il lim di $f_n (x)$ per n che tende a $+oo$ ottengo che $f_n$ converge puntualmente a $f(x) = 0$.

Dove? Per quali $x$?

"Cricricola":Per la convergenza uniforme in $[1,+oo)$, $lim_n || f_n -f || = lim_n text(sup) |f_n|$, facendo la derivata trovo un punto di massimo per $x_n = n/(n-1)$ e $lim_n f_n (n/(n-1))$ è uguale a $0$, quindi converge uniformemente in $[1,+oo)$.

Sicuro?
Il massimo assoluto di $f_n$ dovrebbe valere $((n-1)/n)^(n-1)$ se non ho fatto male i conti, ed una roba simile non va a zero.

"Cricricola":Per l'intervallo [1,2] si ha la stessa cosa di [1,+inf)?
E per l'intervallo [2,+inf) si può dire che il sup è 2? Quindi lim fn(2) tende a 0?

Fai i conti.