Convergenza puntuale e uniforme di successione di funzioni con arcotangente

[IanGillan93]

Salve a tuti ragazzi, vi chiedo una mano con il seguente esercizio:

Determinare gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme per la successione di funzioni
$ f_n(x)=arctan(x+n)+arctan((n^2x^2)/(1+n)) $

Innanzitutto ho calcolato il limite puntuale ottenendo che la mia successione converge puntualmente a $ f(x)=\{(pi, se x!=0),(pi/2, se x=0) :} $

Quindi, poiché la successione di funzioni è continua e converge puntualmente ad una funzione discontinua, di certo non potrà essere uniformemente convergente in R.
Pertanto dovrò restringermi agli intervalli $ (-\infty,alpha] $ e $ [beta ,+\infty) $ con $ alpha >0 $ e $ beta >0 $.

A questo punto dovrei calcolare
$ lim_(n -> +infty) text(sup)|f_n(x)-f(x)| $ negli intervalli che ho specificato prima.

Ho provato a fare sia la derivata, sia a utilizzare il fatto che l'arcotangente sia limitata da $pi/2$, ma purtroppo non sono riuscito a venirne a capo

Qualcuno può darmi una mano?

Vi ringrazio molto!

[pilloeffe]

Ciao IanGillan93,

Hai provato facendo uso della solita ricorrente relazione $ arctan(t) + arctan(1/t) = \pi/2 \qquad \AA t > 0 $ ?

[dissonance]

Io invece ti consiglio di trattare i due addendi separatamente. Poi vediamo come incollare i risultati.

(Forse ti ho già detto che il tuo disco "Born again" con i Black Sabbath mi piace molto, anche se tutti lo considerano male. ;—) )

[IanGillan93]

"pilloeffe":Ciao IanGillan93,

Hai provato facendo uso della solita ricorrente relazione $ arctan(t) + arctan(1/t) = \pi/2 \qquad \AA t > 0 $ $ >= |arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))| $

Innanzitutto grazie di cuore per avermi fatto conoscere questa relazione che ignoravo completamente
Non mi è servita per questo esercizio perché non sono riuscito ad applicarla, ma mi è servita per un altro!

"dissonance":Io invece ti consiglio di trattare i due addendi separatamente. Poi vediamo come incollare i risultati.

(Forse ti ho già detto che il tuo disco "Born again" con i Black Sabbath mi piace molto, anche se tutti lo considerano male. ;—) )

Ho deciso di seguire il tuo suggerimento e credo di essere arrivato ad una conclusione (dopo circa 2 giorni di riflessioni... ahimè!).

Dividerò la risoluzione in due casi: uno per ogni intervallo citato sopra.

$ (i)\ (-\infty,alpha] $ con $alpha <0 $

Devo calcolare $ lim_(n -> +infty) text(sup)|f_n(x)-f(x)| $ .

Ho che $ text(sup)|f_n(x)-f(x)|=||arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi||_infty >=$

$ >= |arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi| >= $ (questo è valido $ AA x $ per definizione di estremo superiore)

Considero $ x=-n $ e ottengo che $ >=|arctan(0)+arctan((n^4)/(1+n))-pi| $ che non tende a 0.
Pertanto non abbiamo convergenza uniforme in $ (-\infty,alpha]$con $ alpha <0 $ .

Possiamo quindi restringerci a $ [-M,alpha] $ con $alpha <0 $ e $-M (Ho provato a calcolare le cose in questo nuovo intervallo e ho convergenza uniforme )


$ (ii)\ [alpha,+\infty) $ con $alpha >0 $
Ho che $ text(sup)|arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi| =$

Poiche la tangente è limitata da $pi/2$, la quantità dentro al valore assoluto è $<=0$ quindi
$ = text(sup) (pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n)))$

A questo punto uso il consiglio che mi avete dato e osservo che entrambe le funzioni con l'arcotangente sono decrescenti nell'intervallo considerato.
Pertanto l'estremo superiore sarà in corrispondenza di $alpha$.

Quinti ottengo
$ text(sup) (pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n))) =$ $ lim_(x -> alpha)(pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n))) $ che tende a 0 per $n->+infty$ e quindi ho convergenza uniforme!


Spero di aver fatto correttamente e di non aver fatto troppa confusione con le formule

[dissonance]

Si, io volevo dire un'altra cosa: studia a parte \(\arctan(x+n)\) e l'altro. Vabbé, non fa niente.

Ma quindi in conclusione qual è il tuo risultato? Su che intervalli la successione converge uniformemente?

[IanGillan93]

In conclusione ho convergenza uniforme in intervalli del tipo $ [-M,alpha]sub(-infty,0) $ e $[alpha,+\infty)sub(0,+infty) $ .

Posso comunque chiederti di spiegare il procedimento che mi avevi suggerito? Magari è più efficiente ed elegante del mio

[dissonance]

Scrivo velocemente, non so se si capirà. Il primo addendo, \(\arctan(x+n)\), converge uniformemente a \(\pi/2\) su tutti gli intervalli \([-M, \infty)\), per ogni \(M>0\). Questo si vede graficamente; si tratta di una successione di traslazioni a sinistra. Il secondo addendo ha lo stesso comportamento di \(\arctan(nx^2)\), che converge uniformemente a \(\pi/2\) su tutti gli intervalli \((-\infty, -a]\cup[b, \infty)\), per \(a>0, b>0\). Anche questo si vede graficamente.

http://www.batmath.it/matematica/a_graf ... afelem.htm

Questo suggerisce che la convergenza sia uniforme su \([-M, -a]\cup[b, \infty)\), ma la dimostrazione andrebbe completata.