Convergenza puntuale e uniforme di successione
Salve ho dei dubbi sullo studio della convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione:
\(\displaystyle f_n(x)=\frac{1-log(x)}{cos^2(x)+n^2} \)
Viene chiesto di studiare la convergenza puntuale nell'insieme di definizione e la convergenza uniforme in \(\displaystyle [1,e^2] \).
Convergenza puntuale:
L'insieme di definizione della successione è \(\displaystyle (0,+\infty) \) pertanto studio la convergenza puntuale in questo intervallo:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f_n(x)=\lim_{n \to +\infty}\frac{1-log(x)}{cos^2(x)+n^2}=0 \quad \forall x \in (0,+\infty) \)
Pertanto \(\displaystyle f_n(x) \) converge puntualmente a \(\displaystyle f(x)=0 \quad \forall x \in (0,+\infty) \)
Convergenza uniforme:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}sup|f_n(x)-f(x)|=max \left ( |f_n(x)-f(x)| : x \in (1,e^2) \right )=max \left ( \frac{|1-log(x)|}{cos^2(x)+n^2} : x \in (1,e^2) \right ) \)
Ora viene il bello, per trovare il massimo assoluto nell'intervallo chiuso e limitato ho provato lo studio della derivata prima ma esce qualcosa di sovraumano
, come procedo?
\(\displaystyle f_n(x)=\frac{1-log(x)}{cos^2(x)+n^2} \)
Viene chiesto di studiare la convergenza puntuale nell'insieme di definizione e la convergenza uniforme in \(\displaystyle [1,e^2] \).
Convergenza puntuale:
L'insieme di definizione della successione è \(\displaystyle (0,+\infty) \) pertanto studio la convergenza puntuale in questo intervallo:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f_n(x)=\lim_{n \to +\infty}\frac{1-log(x)}{cos^2(x)+n^2}=0 \quad \forall x \in (0,+\infty) \)
Pertanto \(\displaystyle f_n(x) \) converge puntualmente a \(\displaystyle f(x)=0 \quad \forall x \in (0,+\infty) \)
Convergenza uniforme:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}sup|f_n(x)-f(x)|=max \left ( |f_n(x)-f(x)| : x \in (1,e^2) \right )=max \left ( \frac{|1-log(x)|}{cos^2(x)+n^2} : x \in (1,e^2) \right ) \)
Ora viene il bello, per trovare il massimo assoluto nell'intervallo chiuso e limitato ho provato lo studio della derivata prima ma esce qualcosa di sovraumano
, come procedo?
Risposte
Ciao 
visto che lavori in un intervallo e sapendo che log è una funzione crescente ti basta sostituire in esso il valore $e^2$ mentre al numeratore hai il coseno che è una funzione limitata ad 1 quindi in definitiva il tuo massimo è $\frac{1}{1+n^2} $.
Saluti.
visto che lavori in un intervallo e sapendo che log è una funzione crescente ti basta sostituire in esso il valore $e^2$ mentre al numeratore hai il coseno che è una funzione limitata ad 1 quindi in definitiva il tuo massimo è $\frac{1}{1+n^2} $. Saluti.
Samuele ha ragione, magari è meglio essere un po' più precisi: il termine da studiare con attenzione è $|1-log(x)|$, e sapendo che $log(x)$ è una funzione monotona crescente ti basta trovare lo zero e poi guardare agli estremi dell'intervallo: per $x=1$ ottieni 1, per $x=e^2$ ottieni di nuovo 1 per via del modulo e per $x=e$ ottieni 0, quindi il max di quella funzione in $(1,e^2)$ è 1 e concludi come dice Samuele.
Complimenti per come hai studiato la successione, chiaro e preciso. Non capita spesso
Complimenti per come hai studiato la successione, chiaro e preciso. Non capita spesso
Ottimo chiarimento poll89
"MillesoliSamuele":
Ciao
Saluti.
Questo ragionamento non mi è molto chiaro, come fai a dire che il massimo è \(\displaystyle \frac{1}{1+n^2} \), come lo giustifichi? E' come se avessi massimizzato il numeratore e il denominatore, non è molto chiaro...
"poll89":
Samuele ha ragione, magari è meglio essere un po' più precisi: il termine da studiare con attenzione è $ |1-log(x)| $, e sapendo che $ log(x) $ è una funzione monotona crescente ti basta trovare lo zero e poi guardare agli estremi dell'intervallo: per $ x=1 $ ottieni 1, per $ x=e^2 $ ottieni di nuovo 1 per via del modulo e per $ x=e $ ottieni 0, quindi il max di quella funzione in $ (1,e^2) $ è 1 e concludi come dice Samuele.
Complimenti per come hai studiato la successione, chiaro e preciso. Non capita spesso
Sul fatto che il massimo assoluto di \(\displaystyle |1 - log(x)| \) in \(\displaystyle [1,e^2] \) sia \(\displaystyle 1 \) mi trovo però non capisco come fai a concludere che il massimo è \(\displaystyle \frac{1}{1+n^2} \), sembra più un'approssimazione
@Carlo: Hai ragione, questo ragionamento non è chiaro neanche a me. Anzi, secondo me è proprio sbagliato. Si può recuperare, ma bisogna lavorarci un pochino su.
Eh si, ho scritto una solenne minch***a e me ne scuso, ero stanco ieri...
Propongo un'altra soluzione: intanto osservo che non occorre trovare esplicitamente \( max \left ( \frac{|1-log(x)|}{cos^2(x)+n^2} : x \in (1,e^2) \right ) \). Poi, la condizione di convergenza uniforme chiede $||f_n - f||_(infty,(1,e^2)) -> 0 text( per ) n->+infty$, ed essendo $ f-=0 $ e $0<=(|1-log(x)|)/(cos^2(x) + n^2) ->_(n->+infty)0$ abbiamo la tesi.
Propongo un'altra soluzione: intanto osservo che non occorre trovare esplicitamente \( max \left ( \frac{|1-log(x)|}{cos^2(x)+n^2} : x \in (1,e^2) \right ) \). Poi, la condizione di convergenza uniforme chiede $||f_n - f||_(infty,(1,e^2)) -> 0 text( per ) n->+infty$, ed essendo $ f-=0 $ e $0<=(|1-log(x)|)/(cos^2(x) + n^2) ->_(n->+infty)0$ abbiamo la tesi.
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